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4.如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分別是AB,BB1的中點(diǎn).設(shè)AA1=AC=CB=2,AB=22,
(1)證明:BC1∥平面A1CD;
(2)求異面直線BC1與A1D所成角的大�。�
(3)求B點(diǎn)到平面A1DC的距離.

分析 (1)取A1B1的中點(diǎn)F,連接C1F,BF,F(xiàn)D,利用平行四邊形的判定與性質(zhì)定理可得C1F∥CD,BF∥A1D,再利用面面平行的判定與性質(zhì)定理即可得出.
(2)由AC2+BC2=AB2,利用勾股定理的逆定理可得∠ACB=90°.由直三棱柱ABC-A1B1C1中,可得CC1⊥AC,CC1⊥BC.以C為原點(diǎn),CA為x軸,CB為y軸,CC1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量的夾角公式即可得出.
(3)設(shè)平面CA1D的法向量為n=(x,y,z),利用{nCD=0nA1D=0,可得n.利用d=|nCB||n|即可得出B點(diǎn)到平面A1DC的距離.

解答 證明:(1)取A1B1的中點(diǎn)F,連接C1F,BF,F(xiàn)D,則C1F∥CD,BF∥A1D,
∴平面BC1F∥平面A1CD,BC1?平面BC1F.
∴BC1∥平面A1CD.
解:(2)∵AC=CB=2,AB=22,∴AC2+BC2=AB2,∴∠ACB=90°,∴AC⊥CB.
由直三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥底面ABC,∴CC1⊥AC,CC1⊥BC.
以C為原點(diǎn),CA為x軸,CB為y軸,CC1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則
C(0,0,0),B(0,2,0),C1(0,0,2),A1(2,0,2),D(1,1,0),
BC1=(0,-2,2),A1D=(-1,1,-2),
cosBC1A1D=BC1A1D|BC1||A1D|=68×6=-32
∴異面直線BC1,A1D所成的角為π6
(3)CD=(1,1,0),設(shè)平面CA1D的法向量為n=(x,y,z),
{nCD=0nA1D=0,∴{x+y=0x+y2z=0,取n=(1,-1,-1).
CB=(0,2,0),∴B點(diǎn)到平面A1DC的距離=|nCB||n|=23=233

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間位置關(guān)系、空間角隅空間距離、法向量的應(yīng)用、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、向量夾角公式,考查了數(shù)形結(jié)合方法、推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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年齡/周歲3456789
身高/cm94.8104.2108.7117.8124.3130.8139.1
根據(jù)以上樣本數(shù)據(jù),她建立了身高y(cm)與年齡x(周歲)的線性回歸方程為y=7.19x+73.93,給出下列結(jié)論:
①y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系;    
②回歸直線過(guò)樣本的中心點(diǎn)(42,117.1);
③兒子10歲時(shí)的身高是145.83cm;  
④兒子年齡增加1周歲,身高約增加7.19cm.
其中,正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( �。�
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