分析 (1)取A1B1的中點(diǎn)F,連接C1F,BF,F(xiàn)D,利用平行四邊形的判定與性質(zhì)定理可得C1F∥CD,BF∥A1D,再利用面面平行的判定與性質(zhì)定理即可得出.
(2)由AC2+BC2=AB2,利用勾股定理的逆定理可得∠ACB=90°.由直三棱柱ABC-A1B1C1中,可得CC1⊥AC,CC1⊥BC.以C為原點(diǎn),CA為x軸,CB為y軸,CC1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量的夾角公式即可得出.
(3)設(shè)平面CA1D的法向量為→n=(x,y,z),利用{→n•→CD=0→n•→A1D=0,可得→n.利用d=|→n•→CB||→n|即可得出B點(diǎn)到平面A1DC的距離.
解答 證明:(1)取A1B1的中點(diǎn)F,連接C1F,BF,F(xiàn)D,則C1F∥CD,BF∥A1D,
∴平面BC1F∥平面A1CD,BC1?平面BC1F.
∴BC1∥平面A1CD.
解:(2)∵AC=CB=2,AB=2√2,∴AC2+BC2=AB2,∴∠ACB=90°,∴AC⊥CB.
由直三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥底面ABC,∴CC1⊥AC,CC1⊥BC.
以C為原點(diǎn),CA為x軸,CB為y軸,CC1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則
C(0,0,0),B(0,2,0),C1(0,0,2),A1(2,0,2),D(1,1,0),
→BC1=(0,-2,2),→A1D=(-1,1,-2),
∴cos<→BC1,→A1D>=→BC1•→A1D|→BC1||→A1D|=−6√8×√6=-√32.
∴異面直線BC1,A1D所成的角為π6.
(3)→CD=(1,1,0),設(shè)平面CA1D的法向量為→n=(x,y,z),
則{→n•→CD=0→n•→A1D=0,∴{x+y=0−x+y−2z=0,取→n=(1,-1,-1).
→CB=(0,2,0),∴B點(diǎn)到平面A1DC的距離=|→n•→CB||→n|=2√3=2√33.
點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間位置關(guān)系、空間角隅空間距離、法向量的應(yīng)用、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、向量夾角公式,考查了數(shù)形結(jié)合方法、推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | 0 | B. | 3-√3 | C. | 2 | D. | 3+√3 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
年齡/周歲 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
身高/cm | 94.8 | 104.2 | 108.7 | 117.8 | 124.3 | 130.8 | 139.1 |
A. | 1 | B. | 2 | C. | 3 | D. | 4 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | √e | B. | 2e | C. | 2√ee | D. | √ee |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題
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A. | π12 | B. | π6 | C. | π3 | D. | π2 |
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A. | 0 | B. | π6 | C. | π3 | D. | π2 |
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