Question

設(shè)函數(shù)，，

其中|t|≤1，將f(x)的最小值記為g(t)．

(1)求g(t)的表達(dá)式；

(2)對(duì)于區(qū)間[－1，1]中的某個(gè)t，是否存在實(shí)數(shù)a，使得不等式g(t)≤成立？如果存在，求出這樣的a及其對(duì)應(yīng)的t；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（１）g(t)＝4t³－3t＋3．

（２）對(duì)任意的實(shí)數(shù)a，＝∈[－2，2]

當(dāng)且僅當(dāng)a＝1時(shí)，＝2，對(duì)應(yīng)的t＝－1或，

故當(dāng)t＝－1或時(shí)，這樣的a存在，且a＝1，使得g(t)≥成立.

而當(dāng)t∈(－1，1]且t≠時(shí)，這樣的a不存在.

解析:

(1)

                

               ．

由(sinx－t)²≥0，|t|≤1，故當(dāng)sinx＝t時(shí)，f(x)有最小值g(t)，即

g(t)＝4t³－3t＋3．

 (2)我們有．

列表如下：

t	(－1，－)	－	(－，)		(，1)
g'(t)	＋	0	－	0	＋
G(t)	↗	極大值g(－)	↘	極小值g()	↗

由此可見，g(t)在區(qū)間(－1，－)和(，1)單調(diào)增加，在區(qū)間(－，)單調(diào)減小，極小值為g()＝2，

又g(－1)＝－4－(－3)＋3＝2

故g(t)在[－1，1]上的最小值為2

注意到：對(duì)任意的實(shí)數(shù)a，＝∈[－2，2]

當(dāng)且僅當(dāng)a＝1時(shí)，＝2，對(duì)應(yīng)的t＝－1或，

故當(dāng)t＝－1或時(shí)，這樣的a存在，且a＝1，使得g(t)≥成立.

而當(dāng)t∈(－1，1]且t≠時(shí)，這樣的a不存在.