Question

有下列命題：
①函數(shù)f（-x+2）與y=f（x-2）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱
②若函數(shù)f（x）=e^x，則對(duì)任意的x₁，x₂∈R，都有f(

x1+x2

2

)≤

f(x1)+f(x2)

2

③若函數(shù)f（x）=log_a|x|（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，則f（-2）＞f（a+1）
④若函數(shù)f（x+2013）=x²-2x-1（x∈R），則函數(shù)的最小值為-2
其中正確的序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①令t=-x+2，知y=f（t）與y=f（-t）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，從而得出y=f（-x+2）與y=f（x-2）的圖象的對(duì)稱性；
②利用作商法，結(jié)合基本不等式，判定f(

x1+x2

2

)≤

f(x1)+f(x2)

2

是否成立即可；
③由函數(shù)f（x）的單調(diào)性與奇偶性判定命題是否正確；
④利用換元法求出函數(shù)f（x）的解析式，再求出f（x）的最小值，即可判定命題是否正確．

解答： 解：①設(shè)t=-x+2，∴x-2=-t，
∴函數(shù)化為y=f（t）與y=f（-t），
兩函數(shù)圖象關(guān)于直線t=0對(duì)稱，
由t=-x+2=0得：x=2，
∴y=f（-x+2）與y=f（x-2）的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱；
∴命題①錯(cuò)誤；
②∵f（x）=e^x，對(duì)任意的x₁，x₂∈R，
有

f(x1)+f(x2) 2

f( x1+x2 2 )

=

ex1+ex2

2e x1+x2 2

=

e x1-x2 2

2

+

e x2-x1 2

2

≥2

e x1-x2 2 2 • e x2-x1 2 2

=2×

1

2

=1，
∴f(

x1+x2

2

)≤

f(x1)+f(x2)

2

，
∴命題②正確；
③當(dāng)函數(shù)f（x）=log_a|x|（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上單調(diào)遞增時(shí)，
a＞1，∴a+1＞2，
∴f（a+1）＞f（2）；
又f（-2）=f（2），
∴f（a+1）＞f（-2）；
∴命題③錯(cuò)誤；
④∵函數(shù)f（x+2013）=x²-2x-1（x∈R），
設(shè)x+2013=t，則x=t-2013；
∴f（t）=（t-2013）²-2（t-2013）-1
=（t-2013-1）²-1-1
=（t-2014）²-2，
即f（x）=（x-2014）²-2；
∴函數(shù)f（x）的最小值為-2，
∴命題④正確；
綜上知，正確命題的序號(hào)是②④；
故答案為：②④．

點(diǎn)評(píng)：本題通過命題真假的判定考查了函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱軸以及最值問題，是綜合題目．