已知函數(shù)f(x)=kx2+(3+k)x+3,其中k為常數(shù),且k≠0.
(1)若f(2)=3,求函數(shù)f(x)的表達式;
(2)在(1)的條件下,設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)-mx,若g(x)在區(qū)間[-2,2]上是單調(diào)函數(shù),求實數(shù)m的取值范圍;
(3)是否存在k使得函數(shù)f(x)在[-1,4]上的最大值是4?若存在,求出k的值;若不存在,請說明理由.
【答案】
分析:(1)由f(2)=3,可得k的值,從而可得函數(shù)f(x)的表達式;
(2)g(x)=f(x)-mx=-x
2+(2-m)x+3,函數(shù)的對稱軸為x=
,根據(jù)g(x)在區(qū)間[-2,2]上是單調(diào)函數(shù),可得
或
,從而可求實數(shù)m的取值范圍;
(3)f(x)=kx
2+(3+k)x+3的對稱軸為
,分類討論,確定函數(shù)圖象開口向上,函數(shù)f(x)在[-1,4]上的單調(diào)性,利用最大值是4,建立方程,即可求得結(jié)論.
解答:解:(1)由f(2)=3,可得4k+2(3+k)+3=3,∴k=-1
∴f(x)=-x
2+2x+3;
(2)由(1)得g(x)=f(x)-mx=-x
2+(2-m)x+3,函數(shù)的對稱軸為x=
∵g(x)在區(qū)間[-2,2]上是單調(diào)函數(shù),
∴
或
∴m≤-2或m≥6;
(3)f(x)=kx
2+(3+k)x+3的對稱軸為
①k>0時,函數(shù)圖象開口向上,
,此時函數(shù)f(x)在[-1,4]上的最大值是f(4)=16k+(3+k)×4+3=20k+15=4,∴
,不合題意,舍去;
②k<0時,函數(shù)圖象開口向下,
,
1°若
,即
時,函數(shù)f(x)在[-1,4]上的最大值是f(
)=
∴k
2+10k+9=0,∴k=-1或k=-9,符合題意;
2°若
,即
時,函數(shù)f(x)在[-1,4]上遞增,最大值為f(4)=16k+(3+k)×4+3=20k+15=4,
∴
,不合題意,舍去;
綜上,存在k使得函數(shù)f(x)在[-1,4]上的最大值是4,且k=-1或k=-9.
點評:本題考查函數(shù)解析式的確定,考查二次函數(shù)的單調(diào)性與最值,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想,正確分類是關(guān)鍵.