Question

已知點(diǎn)P為拋物線y²=2x上的動點(diǎn)，點(diǎn)P在y軸上的射影為M，點(diǎn)A的坐標(biāo)為A(

7

2

，4)，則|PA|+|PM|的最小值是

9

2

．

Answer 1

分析：先根據(jù)拋物線的方程求得焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，延長PM交準(zhǔn)線于H點(diǎn)，由拋物線的定義可得|PF|=|PH|，故|PM|+|PA|
=|PF|+|PA|-

1

2

，由|PF|+|PA|≥|FA|可得所求的最小值為|FA|-

1

2

．利用兩點(diǎn)間的距離公式求得|FA|，即可得到|最小值|FA|-

1

2

的值．

解答：解：解：依題意可知焦點(diǎn)F（

1

2

，0），準(zhǔn)線 x=-

1

2

，延長PM交準(zhǔn)線于H點(diǎn)，則由拋物線的定義可得|PF|=|PH|，
∴|PM|=|PH|-

1

2

=|PF|-

1

2

．
∴|PM|+|PA|=|PF|+|PA|-

1

2

，我們只有求出|PF|+|PA|最小值即可．
由三角形兩邊長大于第三邊可知，|PF|+|PA|≥|FA|，
當(dāng)點(diǎn)P是線段FA和拋物線的交點(diǎn)時(shí)，|PF|+|PA|可取得最小值為|FA|，利用兩點(diǎn)間的距離公式求得|FA|=5．
則所求為|PM|+|PA|=5-

1

2

=

9

2

．
故答案為：

9

2

．

點(diǎn)評：本題主要考查了拋物線的定義和簡單性質(zhì)，考查了考生分析問題的能力，數(shù)形結(jié)合的思想的運(yùn)用．