Question

15．如圖：已知，在△OAB中，點A是BC的中點，點D是將向量$\overrightarrow{OB}$分為2：1的一個分點，DC和OA交于點E，則AO與OE的比值是（　　）

• A． 2
• B． $\frac{5}{4}$
• C． $\frac{3}{2}$
• D． $\frac{6}{5}$

Answer 1

分析 根據(jù)條件可得$\overrightarrow{OE}=\frac{λ}{2}（\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}）$，而$\overrightarrow{OB}=\frac{3}{2}\overrightarrow{OD}$，帶入上式便可得出$\overrightarrow{OE}=\frac{3λ}{4}\overrightarrow{OD}+\frac{λ}{2}\overrightarrow{OC}$，這樣由C，E，D三點共線便可得到$\frac{3λ}{4}+\frac{λ}{2}=1$，從而可求出λ的值，進而便可得出AO與OE的比值．

解答 解：∵O，E，A三點共線，且A是BC的中點；
∴設(shè)$\overrightarrow{OE}=λ\overrightarrow{OA}=\frac{λ}{2}（\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}）$；
又$\overrightarrow{OB}=\frac{3}{2}\overrightarrow{OD}$；
∴$\overrightarrow{OE}=\frac{3λ}{4}\overrightarrow{OD}+\frac{λ}{2}\overrightarrow{OC}$；
∵C，E，D三點共線；
∴$\frac{3λ}{4}+\frac{λ}{2}=1$；
解得$λ=\frac{4}{5}$；
∴$\overrightarrow{OE}=\frac{4}{5}\overrightarrow{OA}$；
∴$\frac{AO}{OE}=\frac{5}{4}$．
故選：B．

點評 考查共線向量基本定理，向量加法的平行四邊形法則，以及向量數(shù)乘的幾何意義，向量的數(shù)乘運算，知道當C，E，D三點共線時，有$\overrightarrow{OE}=x\overrightarrow{OD}+y\overrightarrow{OC}$且x+y=1．