Question

張老板投資28萬元經營某一消費品專買店，已知該消費品的進價為每件40元，該店每月銷售量q（百件）與銷售單價p（元/件）之間的關系用如圖的一折線表示，職工每人每月工資為600元，該店應交付的其它費用為每月13200元．
（1）把q表示為p的函數(shù)；
（2）當銷售價為52元每件，該店正好收支平衡，求該店的職工人數(shù)；
（3）若該店只安排40名職工，問張老板最早可在幾年后收回成本？

Answer 1

分析：（1）從圖中看，這是一個分段一次函數(shù)，40＜x≤60和60＜x＜100時，函數(shù)的表達式不同，每段函數(shù)都經過兩點，使用待定系數(shù)法即可求出函數(shù)關系式；
（2）利用（1）中的函數(shù)關系，當銷售單價定為50元時，可計算出月銷售量，設可安排員工m人，利潤=銷售額一生產成本-員工工資-其它費用，列出方程即可解；
（3）先分情況討論出利潤的最大值，即可求解．

解答：解：（1）當40≤p≤58時，由兩點式得AB：

q-60

24-60

=

p-40

58-40

，
即q=-2p+140，（2分）
當58＜p≤81時，由兩點式得BC：

q-24

1-24

=

p-58

81-58

，即q=-p+82；
∴q=

-2p+140，(40≤p≤58) -p+82，(58＜p≤81)

（4分）
（2）設該店有職工m名，當p=52時，
該店的總收入為q（p-40）×100=100（-2p+140）（p-40）=43200元，
該店的總支出為600m+13200元，（6分）
依題意得43200=600m+132000，解得：m=50
答：此時該店有50名職工．（8分）
（3）若該店只安排40名職工，
則月利潤S=

(-2p+140)(p-40)×100-37200，(40≤p≤58) (-p+82)(p-40)×100-37200，(58＜p≤81)

，（10分）
當40≤p≤58時，S=-2（p-55）²+7800，所以p=55時，S取最大值7800元；
當58＜p≤81時，S=-（p-61）²+6900，所以p=61時，S取最大值6900元；
故當p=55時，S取最大值7800元；（12分）
設張老板最早可在n年后收回成本，則12n×7800-280000≥0，
解得：n≥2

116

117

，∵n∈N₊，∴n的最小值為3．
答：張老板最早可在3年后收回成本．（14分）

點評：本題考查了一次函數(shù)關系式、分段函數(shù)，以及函數(shù)與方程的思想，屬于基礎題．函數(shù)模型為分段函數(shù)時，求分段函數(shù)的最值，應先求出函數(shù)在各部分的最值，然后取各部分的最值的最大值為整個函數(shù)的最大值，取各部分的最小者為整個函數(shù)的最小值．