Question

在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2BC=4，CD=3，E為AB中點，過E作EF⊥CD，垂足為F，（如圖一），將此梯形沿EF折起，使得平面ADFE垂直于平面FCBE，（如圖二）．
（1）求證：BF∥平面ACD；
（2）求多面體ADFCBE的體積．

Answer 1

【答案】分析：（1）先證明BCFE為正方形，AE和DF都垂直于平面BCFE，設(shè)O是正方形BCFE的中心，取AC得中點為H，證明四邊形OHDF為矩形，OF平行于DH，再由直線和平面平行的判定定理可得OF∥平面ACD，即BF∥平面ACD．
（2）把多面體ADFCBE分成兩個棱錐：三棱錐A-BCE 和四棱錐C-AEFD，分別求出 V_A-BCE和 V_C-AEFD 的值，相加即得所求．
解答：解：（1）證明：∵直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2BC=4，CD=3，E為AB中點，EF⊥CD，垂足為F，∴BCFE為正方形．
設(shè)BF和CE的交點為O，則O是正方形BCFE的中心．
再由平面ADFE垂直于平面FEBC，可得AE和DF都垂直于平面BCFE．
取AC得中點為H，則由三角形的中位線性質(zhì)可得OH平行且等于AE的一半，故OH平行且等于DF，故四邊形OHDF為矩形，故OF平行于DH．
再由DH?平面ACD，OF不在平面ACD內(nèi)，故OF∥平面ACD，即BF∥平面ACD．
（2）把多面體ADFCBE分成兩個棱錐：三棱錐A-BCE 和四棱錐C-AEFD，
由題意可得CF⊥平面AEFD，AE⊥平面BCFE．
∴V_A-BCE=S_△BCE•AE=××BC•BE•AE==．
V_C-AEFD=×S_AEFD•CF=×（AE+DF）•EF•CF=×（2+1）×2×2=2，
故多面體ADFCBE的體積為 V_A-BCE+V_C-AEFD=+2=．
點評：本題主要考查直線和平面平行的判定定理的應(yīng)用，用“分割法”求棱錐的體積，屬于中檔題．