Question

（2012•黔東南州一模）在一個(gè)球的球面上有P、A、B、C、D五個(gè)點(diǎn)，且P-ABCD是正四棱錐，同時(shí)球心和P點(diǎn)在平面ABCD的異側(cè)，則

PA

AB

的取值范圍是

（

2

2

，1）

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，外接球的球心O在高PO₁的延長線上，由此可得PO₁＜AO₁，結(jié)合Rt△POA₁中用勾股定理和正四棱錐的性質(zhì)，建立關(guān)于PA、AB的不等式，解之可得

PA

AB

的取值范圍．

解答：解：設(shè)底面ABCD的中心為O₁，則外接球的球心O在直線PO₁上
∵球心O和P點(diǎn)在平面ABCD的異側(cè)，
∴球心O在高PO₁的延長線上，得PO₁＜AO₁
∵Rt△POA₁中，AO1=

2

2

AB，PO1=

PA2-AO1 2

，
∴

PA2- 1 2 AB2

＜

2

2

AB，解之得PA＜AB，

PA

AB

＜1
又∵AO1=

2

2

AB＜PA，∴

PA

AB

＞

2

2

，
由此可得

PA

AB

的取值范圍：（

2

2

，1）
故答案為：（

2

2

，1）

點(diǎn)評(píng)：本題給出正四棱錐外接球的球心和頂點(diǎn)在底面的兩側(cè)，求側(cè)棱與底面邊長比值的取值范圍．著重考查了正棱錐的性質(zhì)和多面體的外接球等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．