Question

14．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且過(guò)點(diǎn)（0，1）．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若過(guò)橢圓左頂點(diǎn)A的直線l與橢圓的另一交點(diǎn)為B．與直線x=a交于點(diǎn)P，求$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OP}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知條件求出b，通過(guò)離心率以及a、b、c關(guān)系，求出a，即可求橢圓的方程；
（Ⅱ）求出A設(shè)出B，得到直線方程，求出P的坐標(biāo)，計(jì)算下來(lái)的數(shù)量積，推出結(jié)果即可．

解答 解：（Ⅰ）∵$e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，b=1，∴a²=2，b²=1，∴橢圓的方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．…（4分）
（Ⅱ）由（1）可知點(diǎn)$A（-\sqrt{2}，0）$，設(shè)B（x₀，y₀），則$l：y=\frac{y_0}{{{x_0}+\sqrt{2}}}（x+\sqrt{2}）$．…（6分）
令$x=\sqrt{2}$，解得$y=\frac{{2\sqrt{2}{y_0}}}{{{x_0}+\sqrt{2}}}$，即$P（\sqrt{2}，\frac{{2\sqrt{2}{y_0}}}{{{x_0}+\sqrt{2}}}）$，…（8分）
∴$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OP}=（{x_0}，{y_0}）•（\sqrt{2}，\frac{{2\sqrt{2}{y_0}}}{{{x_0}+\sqrt{2}}}）=\frac{{\sqrt{2}（{x_0}^2+2{y_0}^2）+2{x_0}}}{{{x_0}+\sqrt{2}}}$，…（10分）
又∵B（x₀，y₀）在橢圓上，則${x_0}^2+2{y_0}^2=2$，∴$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OP}=2$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，向量在橢圓中的應(yīng)用，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．