精英家教網(wǎng)已知四棱錐P-ABCD,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB⊥AD,AC與BD交于點O,又PA=3,AD=2,AB=2
3
,BC=6
,
(Ⅰ) 求證:BD⊥平面PAC;
(Ⅱ)求二面角O-PB-A的余弦值.
分析:(Ⅰ)先證明AO⊥BO,利用PA⊥底面ABCD,可得PA⊥BO,利用線面垂直的判定定理可得BD⊥平面PAC;
(Ⅱ)證明DA⊥面PAB,作AH⊥PB,連接DH,則DH⊥PB,所以∠AHD是二面角O-PB-A的平面角,利用三角函數(shù)可求.
解答:精英家教網(wǎng)(Ⅰ)證明:由AD=2,AB=2
3
,BC=6得BD=4,AC=
3

AO
OC
=
OD
BO
=
1
3
,∴AO=
3
,BO=3
在△ABO中,AO2+BO2=AB2,所以AO⊥BO,
∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥BO
∵PA∩AO=A,∴BD⊥平面PAC;
(Ⅱ)解:由PA⊥底面ABCD,可得面PAB⊥底面ABCD,
由AB⊥AD,可得DA⊥面PAB
作AH⊥PB,連接DH,則DH⊥PB,所以∠AHD是二面角O-PB-A的平面角.
在△AHD中,AH=
6
7
,AD=2,HD=
8
7
,∴cos∠AHD=
AH
HD
=
3
4

所以二面角O-PB-A的余弦值是
3
4
點評:本題考查線面垂直的判定,考查面面角,考查學(xué)生的空間想象能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知四棱錐P--ABC的底面ABCD為正方形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=2,e為PC的中點,F(xiàn)為AD的中點.
(Ⅰ)證明EF∥平面PAB;
(Ⅱ)證明EF⊥平面PBC;
(III)點M是四邊形ABCD內(nèi)的一動點,PM與平面ABCD所成的角始終為45°,求動直線PM所形成的曲面與平面ABCD、平面PAB、平面PAD所圍成幾何體的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=2CD=2,PB=PC,側(cè)面PBC⊥底面ABCD,O是BC的中點.
(1)求證:PO⊥平面ABCD;
(2)求證:PA⊥BD
(3)若二面角D-PA-O的余弦值為
10
5
,求PB的長.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,E為BC中點,AE與BD交于O點,AB=BC=2CD=2,BD⊥PE.
(1)求證:平面PAE⊥平面ABCD; 
(2)若直線PA與平面ABCD所成角的正切值為
5
2
,PO=2,求四棱錐P-ABCD的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,∠DAB=∠ABC=90°,E是線段PC上一點,PC⊥平面BDE.
(Ⅰ)求證:BD⊥平面PAB.
(Ⅱ)若PA=4,AB=2,BC=1,求直線AC與平面PCD所成角的正弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年山東省濟寧一中高三(上)期末數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

如圖,已知四棱錐P--ABC的底面ABCD為正方形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=2,e為PC的中點,F(xiàn)為AD的中點.
(Ⅰ)證明EF∥平面PAB;
(Ⅱ)證明EF⊥平面PBC;
(III)點M是四邊形ABCD內(nèi)的一動點,PM與平面ABCD所成的角始終為45°,求動直線PM所形成的曲面與平面ABCD、平面PAB、平面PAD所圍成幾何體的體積.

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