Question

已知點(diǎn)F為拋物線C：y²=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)P是準(zhǔn)線l上的動(dòng)點(diǎn)，直線PF交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為m（m≠0），點(diǎn)D為準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)．
（Ⅰ）求直線PF的方程；
（Ⅱ）求△DAB的面積S范圍；
（Ⅲ）設(shè)，，求證λ+μ為定值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題知點(diǎn)P，F(xiàn)的坐標(biāo)分別為（-1，m），（1，0），求出斜率用點(diǎn)斜式寫出直線方程．
（Ⅱ）設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），用弦長(zhǎng)公式求出線段AB的長(zhǎng)，再由點(diǎn)到直線的距離公式求點(diǎn)D到直線AB的距離，用三角形面積公式表示出面積關(guān)于參數(shù)m的表達(dá)式，再根據(jù)m的取值范圍求出面積的范圍．
（Ⅲ），，變化為坐標(biāo)表示式，從中求出參數(shù)λ，μ用兩點(diǎn)A，B的坐標(biāo)表示的表達(dá)式，即可證明出兩者之和為定值．
解答：解：（Ⅰ）由題知點(diǎn)P，F(xiàn)的坐標(biāo)分別為（-1，m），（1，0），
于是直線PF的斜率為，
所以直線PF的方程為，即為mx+2y-m=0．（3分）

（Ⅱ）設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
由得m²x²-（2m²+16）x+m²=0，
所以，x₁x₂=1．
于是．
點(diǎn)D到直線mx+2y-m=0的距離，
所以．
因?yàn)閙∈R且m≠0，于是S＞4，
所以△DAB的面積S范圍是（4，+∞）．（9分）

（Ⅲ）由（Ⅱ）及，，得（1-x₁，-y₁）=λ（x₂-1，y₂），（-1-x₁，m-y₁）=μ（x₂+1，y₂-m），
于是，（x₂≠±1）．
所以．
所以λ+μ為定值0．（14分）
點(diǎn)評(píng)：考查求直線方程、拋物線在的焦點(diǎn)弦弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線的距離公式及向量中數(shù)乘向量的意義，涉及知識(shí)較多，綜合性較強(qiáng)．