Question

19．已知：x、y、z是正實(shí)數(shù)，且x+2y+3z=1，
（1）求$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$的最小值；
（2）求證：x²+y²+z²≥$\frac{1}{14}$．

Answer 1

分析 （1）由題意整體代入可得$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$=6+（$\frac{2y}{x}$+$\frac{x}{y}$）+（$\frac{3z}{x}$+$\frac{x}{z}$）+（$\frac{3z}{y}$+$\frac{2y}{z}$），由基本不等式可得；
（2）由柯西不等式可得1=（x+2y+3z）²≤（x²+y²+z²）（1²+2²+3²）=14（x²+y²+z²），由不等式的性質(zhì)可得．

解答 解：（1）∵x、y、x是正實(shí)數(shù)，且x+2y+3z=1，
∴$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$=（$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$）（x+2y+3z）
=6+$\frac{2y}{x}$+$\frac{3z}{x}$+$\frac{x}{y}$+$\frac{3z}{y}$+$\frac{x}{z}$+$\frac{2y}{z}$
=6+（$\frac{2y}{x}$+$\frac{x}{y}$）+（$\frac{3z}{x}$+$\frac{x}{z}$）+（$\frac{3z}{y}$+$\frac{2y}{z}$）
≥6+2$\sqrt{2}$+2$\sqrt{3}$+2$\sqrt{6}$
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{2y}{x}$=$\frac{x}{y}$且$\frac{3z}{x}$=$\frac{x}{z}$且$\frac{3z}{y}$=$\frac{2y}{z}$時(shí)取等號(hào)；
（2）由柯西不等式可得1=（x+2y+3z）²
≤（x²+y²+z²）（1²+2²+3²）=14（x²+y²+z²），
∴x²+y²+z²≥$\frac{1}{14}$，當(dāng)且僅當(dāng)x=2y=3z即x=$\frac{1}{3}$，y=$\frac{1}{6}$，z=$\frac{1}{9}$時(shí)取等號(hào)．
故x²+y²+z²≥$\frac{1}{14}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式和柯西不等式，整體代入是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬中檔題．