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19.已知:x、y、z是正實(shí)數(shù),且x+2y+3z=1,
(1)求1x+1y+1z的最小值;
(2)求證:x2+y2+z2114

分析 (1)由題意整體代入可得1x+1y+1z=6+(2yx+xy)+(3zx+xz)+(3zy+2yz),由基本不等式可得;
(2)由柯西不等式可得1=(x+2y+3z)2≤(x2+y2+z2)(12+22+32)=14(x2+y2+z2),由不等式的性質(zhì)可得.

解答 解:(1)∵x、y、x是正實(shí)數(shù),且x+2y+3z=1,
1x+1y+1z=(1x+1y+1z)(x+2y+3z)
=6+2yx+3zx+xy+3zy+xz+2yz
=6+(2yx+xy)+(3zx+xz)+(3zy+2yz
≥6+22+23+26
當(dāng)且僅當(dāng)2yx=xy3zx=xz3zy=2yz時(shí)取等號(hào);
(2)由柯西不等式可得1=(x+2y+3z)2
≤(x2+y2+z2)(12+22+32)=14(x2+y2+z2),
∴x2+y2+z2114,當(dāng)且僅當(dāng)x=2y=3z即x=13,y=16,z=19時(shí)取等號(hào).
故x2+y2+z2114

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式和柯西不等式,整體代入是解決問題的關(guān)鍵,屬中檔題.

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