Question

己知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=2，當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1+1，a_n，S_n+1成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)bn=log3

an+1

2

，T_n是數(shù)列{

1

bnbn+1

}的前n項(xiàng)和，求使得Tn＜

m

20

對(duì)所有n∈N^*都成立的最小正整數(shù)m．

Answer 1

分析：（1）利用an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

及2a_n=S_n-1+1+S_n+1化簡(jiǎn)可得a_n+1=3a_n，n≥2，此數(shù)列數(shù)列{a_n}是以2為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列．利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式就看得出．
（2）利用（1）可得b_n=n，可得

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，利用“裂項(xiàng)求和”可得T_n，即可得出．

解答：解．（1）當(dāng)n≥2時(shí)，由題意可得2a_n=S_n-1+1+S_n+1…①
2a_n+1=S_n+1+S_n+1+1…②
②-①化簡(jiǎn)得a_n+1=3a_n，n≥2，又a₁=2，
∴數(shù)列{a_n}是以2為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，
∴an=2×3n-1．
（2）∵bn=log3

an+1

2

=lo

g

2×3n 2 3

=n．
∴

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴Tn=1-

1

n+1

＜1，

m

20

≥1恒成立，
∴最小正整數(shù)m的值為20．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”及其不等式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本方法，屬于難題．