Question

5．某村欲修建一橫斷面為等腰梯形的水渠（如圖），為降低成本，必須盡量減少水與水渠壁的接觸面，若水渠的橫斷面面積設(shè)計為定值m，渠深3米，則水渠側(cè)壁的傾斜角α應(yīng)為多少時，方能使修建成本最低？

Answer 1

分析 作BE⊥DC于E，令y=AD+DC+BC，由已知可得y=$\frac{m}{3}$+$\frac{6-3cosα}{sinα}$（0°＜α＜90°），利用換元法令u=$\frac{2-cosα}{sinα}$，求出u取最小值時α的大小，可得結(jié)論．

解答 解：作BE⊥DC于E，如圖1，
在Rt△BEC中，BC=$\frac{3}{sinα}$，CE=3cotα，
又AB-CD=2CE=6cotα，
S=$\frac{（AB+CD）×3}{2}$=m，即
AB+CD=$\frac{2}{3}$m，
故AB=$\frac{m}{3}$+3cotα，CD=$\frac{m}{3}$-3cotα．
設(shè)y=AD+DC+BC，
則y=$\frac{3}{sinα}$+$\frac{3}{sinα}$+$\frac{m}{3}$-3cotα=$\frac{m}{3}$+$\frac{6}{sinα}$-3cotα=$\frac{m}{3}$+$\frac{6}{sinα}$-$\frac{3cosα}{sinα}$=$\frac{m}{3}$+$\frac{6-3cosα}{sinα}$，（0°＜α＜90°），
由于m是常量，欲使y最小，只需$\frac{6-3cosα}{sinα}$=3×$\frac{2-cosα}{sinα}$取最小值，
設(shè)u=$\frac{2-cosα}{sinα}$，u可看作（0，2）與（-sinα，cosα）兩點連線的斜率，
由于α∈（0°，90°），
點（-sinα，cosα）在曲線x²+y²=1（-1＜x＜0，0＜y＜1）上運動，如圖2，

當過（0，2）的直線與曲線相切時，直線斜率最小，此時切點為（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$），
則有sinα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且cosα=$\frac{1}{2}$，那么α=60°，
故當α=60°時，修建成本最低．

點評 本題主要考查函數(shù)的應(yīng)用問題，考查三角函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)條件其中求出水與渠壁的接觸面y的解析式，將實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，是解答的關(guān)鍵．綜合性較強，有一定的難度．