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5.某村欲修建一橫斷面為等腰梯形的水渠(如圖),為降低成本,必須盡量減少水與水渠壁的接觸面,若水渠的橫斷面面積設(shè)計為定值m,渠深3米,則水渠側(cè)壁的傾斜角α應(yīng)為多少時,方能使修建成本最低?

分析 作BE⊥DC于E,令y=AD+DC+BC,由已知可得y=m3+\frac{6-3cosα}{sinα}(0°<α<90°),利用換元法令u=\frac{2-cosα}{sinα},求出u取最小值時α的大小,可得結(jié)論.

解答 解:作BE⊥DC于E,如圖1,
在Rt△BEC中,BC=\frac{3}{sinα},CE=3cotα,
又AB-CD=2CE=6cotα,
S=\frac{(AB+CD)×3}{2}=m,即
AB+CD=\frac{2}{3}m,
故AB=\frac{m}{3}+3cotα,CD=\frac{m}{3}-3cotα.
設(shè)y=AD+DC+BC,
則y=\frac{3}{sinα}+\frac{3}{sinα}+\frac{m}{3}-3cotα=\frac{m}{3}+\frac{6}{sinα}-3cotα=\frac{m}{3}+\frac{6}{sinα}-\frac{3cosα}{sinα}=\frac{m}{3}+\frac{6-3cosα}{sinα},(0°<α<90°),
由于m是常量,欲使y最小,只需\frac{6-3cosα}{sinα}=3×\frac{2-cosα}{sinα}取最小值,
設(shè)u=\frac{2-cosα}{sinα},u可看作(0,2)與(-sinα,cosα)兩點連線的斜率,
由于α∈(0°,90°),
點(-sinα,cosα)在曲線x2+y2=1(-1<x<0,0<y<1)上運動,如圖2,

當過(0,2)的直線與曲線相切時,直線斜率最小,此時切點為(-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}),
則有sinα=\frac{\sqrt{3}}{2},且cosα=\frac{1}{2},那么α=60°,
故當α=60°時,修建成本最低.

點評 本題主要考查函數(shù)的應(yīng)用問題,考查三角函數(shù)的應(yīng)用,根據(jù)條件其中求出水與渠壁的接觸面y的解析式,將實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題,是解答的關(guān)鍵.綜合性較強,有一定的難度.

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