分析 (1)當(dāng)n=5時(shí),集合A={1,2,3,4,5},由X⊆A,且2≤Card(X)≤3,則滿足條件的X共有:{∁}_{5}^{2}+{∁}_{5}^{3}=20個(gè).
(2)對(duì)所有的X進(jìn)行配對(duì):①當(dāng)Card(X)=2時(shí),令X={x1,x2},X′={n+1-xi|xi∈X},必有X′⊆A,可得:{a_X}+{a_{X^/}}=2n+2,如果X=X′則aX=n+1.②同理,當(dāng)Card(X)=k(2<k≤n-2)時(shí),也有上述結(jié)論.
解答 解:(1)當(dāng)n=5時(shí),集合A={1,2,3,4,5},∵X⊆A,且2≤Card(X)≤3,∴X={1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{2,3},{2,4},{2,5},{3,4},{3,5},{4,5},{1,2,3},{1,2,4},},{1,2,5},{1,3,4},},{1,3,5},{1,4,5},{2,3,4},{2,3,5},},{2,4,5},{3,4,5}.
因此共有{∁}_{5}^{2}+{∁}_{5}^{3}=20個(gè).
(2)對(duì)所有的X進(jìn)行配對(duì):
①當(dāng)Card(X)=2時(shí),
令X={x1,x2},X′={n+1-xi|xi∈X},必有X′⊆A,不妨設(shè)x1<x2,則aX=x1+x2,{a_{X^/}}=n+1-{x_1}+n+1-{x_2}=2n+2-({x_1}+{x_2}).如果X≠X′,則有{a_X}+{a_{X^/}}=2n+2,如果X=X′則aX=n+1.
②同理,當(dāng)Card(X)=k(2<k≤n-2)時(shí),
令X={x1,x2,…xk},X′={n+1-x&i|xi∈X}必有X′⊆A,不妨設(shè)x1<x2<…<xk,則aX=x1+xk,{a_{X^/}}=2n+2-({x_1}+{x_k}).如果X≠X′,則{a_X}+{a_{X^/}}=2n+2,如果X=X′則aX=n+1.
∴在每一組元素個(gè)數(shù)相同的子集中,aX的平均值為n+1.
綜上,所有aX的算術(shù)平均值為n+1.
故答案分別為:20;n+1.
點(diǎn)評(píng) 本題考查了集合的運(yùn)算性質(zhì)、分類討論方法,考查了分析問題與解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.
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A. | 2+2i | B. | -2-2i | C. | -2+2i | D. | 2-2i |
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A. | 充要條件 | B. | 充分不必要條件 | ||
C. | 必要不充分條件 | D. | 非充分非必要條件 |
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