Question

若f（x）=（1+2x）^m+（1+3x）ⁿ，（m，n∈N^*）的展開式中含x的系數(shù)為13，則x³的系數(shù)為

27或80

．

Answer 1

分析：由于f（x）=（1+2x）^m+（1+3x）ⁿ 的展開式中含x的系數(shù)為

C

1 m

×2+

C

1 n

×3=13，求得m、n的值，從而求得x³的系數(shù)．

解答：解：由于f（x）=（1+2x）^m+（1+3x）ⁿ 的展開式中含x的系數(shù)為

C

1 m

×2+

C

1 n

×3=13，
即 2m+3n=13，m，n∈N^*．顯然，1≤n≤4．
當(dāng)n=1時(shí)，求得m=5；當(dāng)n=2時(shí)，求得正整數(shù)m無(wú)解；當(dāng)n=3時(shí)，求得正整數(shù)m=2；
當(dāng)n=4時(shí)，求得正整數(shù)m無(wú)解．
綜上可得

m=2 n=3

，或 

m=5 n=1

，故x³的系數(shù)為

C

3 3

•3³=27，或者

C

3 5

•2³=80，
故答案為 27或80．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，屬于中檔題．