Question

1．對于函數(shù)f（x），若存在常數(shù)s，t，使得取定義域內的每一個x的值，都有f（x）=-f（2s-x）+t，則稱f（x）為“和諧函數(shù)”，給出下列函數(shù) ①f（x）=$\frac{x}{x+1}$ ②f（x）=（x-1）² ③f（x）=x³+x²+1 ④f（x）=ln（$\sqrt{1+9{x}^{2}}$-3x）•cosx，其中所有“和諧函數(shù)”的序號是（　�。�

• A． ①③
• B． ②③
• C． ①②④
• D． ①③④

Answer 1

分析 判斷對于函數(shù)f（x）為“和諧函數(shù)”的主要標準是：若存在常數(shù)s，t，使函數(shù)f（x）的圖象關于（s，t）對稱，則稱f（x）為“和諧函數(shù)”，由此逐一判斷四個函數(shù)得答案．

解答 解：對于函數(shù)f（x），若存在常數(shù)s，t，使得x取定義域內的每一個值，都有f（x）=-f（2s-x）+t，知，
函數(shù)f（x）的圖象關于（s，t）對稱，
對于①，f（x）=$\frac{x}{x+1}$=$\frac{x+1-1}{x+1}=1-\frac{1}{x+1}$，函數(shù)f（x）的圖象關于（-1，1）對稱，函數(shù)為“和諧函數(shù)”；
對于②，f（x）=（x-1）²，函數(shù)無對稱數(shù)中心，函數(shù)不是“和諧函數(shù)”；
對于③，f（x）=x³+x²+1，函數(shù)f（x）關于（$-\frac{4}{3}$，$\frac{29}{27}$）中心對稱圖形，函數(shù)是“和諧函數(shù)”；
對于④，f（x）=ln（$\sqrt{1+9{x}^{2}}$-3x）•cosx為奇函數(shù)，圖象關于（0，0）對稱，函數(shù)為“和諧函數(shù)”．
∴為“和諧函數(shù)”的是①③④．
故選：D．

點評 本題考查新定義的理解和應用，函數(shù)f（x）的圖象關于（s，t）對稱，則稱f（x）為“和諧函數(shù)”是關鍵，是中檔題．