Question

（2010•撫州模擬）拋物線x²=-8y的準(zhǔn)線與y軸交于點(diǎn)A．過(guò)點(diǎn)A作直線交拋物線于M，N兩點(diǎn)，．點(diǎn)B在拋物線對(duì)稱軸上，且(

BM

+

MN

2

)⊥

MN

．則|

OB

|的取值范圍是（　�。�

A．（3，+∞）

B．（4，+∞）

C．（5，+∞）

D．（6，+∞）

Answer 1

分析：由題意可設(shè)直線MN的方程為y=kx+2，M （x₁，x₂），N（x₂，y₂），MN 的中點(diǎn)E（x₀，y₀），，聯(lián)立方程

y=kx+2 x2=-8y

可得x²+8kx+16=0，由△＞0可求k的范圍，由方程的根與系數(shù)關(guān)系及中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求MN的中點(diǎn)E，由(

BM

+

MN

2

)⊥

MN

即BE⊥MN即M在MN的垂直平分線，則MN的垂直平分線與y軸的交點(diǎn)即是B，，令x=0可求B的縱坐標(biāo)，結(jié)合K的范圍可求|

OB

|的范圍

解答：解：由題意可得A（0，2），直線MN的斜率k存在且k≠0
設(shè)直線MN的方程為y=kx+2，M （x₁，x₂），N（x₂，y₂），MN 的中點(diǎn)E（x₀，y₀），
聯(lián)立方程

y=kx+2 x2=-8y

可得x²+8kx+16=0
則可得，△=64k²-64＞0，即k²＞1，x₁+x₂=-8k，y₁+y₂=k（x₁+x₂）+4=4-8k²
∴x0=

x1+x2

2

=-4k，y0=

y1+y2

2

=2-4k²即E（-4k，2-4k²）
∵

BM

+

1

2

MN

=

BM

+

ME

=

BE

又∵(

BM

+

MN

2

)⊥

MN

即BE⊥MN即M在MN的垂直平分線
則MN的垂直平分線y+4k²-2=-

1

k

(x+4k)與y軸的交點(diǎn)即是B，
令x=0可得，y=-2-4k²
則|

OB

|=2+4k²＞6
故選D

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了向量的數(shù)量積的性質(zhì)的應(yīng)用，直線與拋物線的相交關(guān)系的應(yīng)用，方程的根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，屬于向量知識(shí)的綜合應(yīng)用．