精英家教網(wǎng)(1)已知tan(α+
π
4
)=-3
,求
sinα(3cosα-sinα)
1+tanα
的值.
(2)如圖:△ABC中,|
AC
|=2|
AB
|
,D在線段BC上,且
DC
=2
BD
,BM是中線,用向量證明AD⊥BM.(平面幾何證明不得分)
分析:(1)先把已知條件利用兩角和與差的正切函數(shù)公式化簡,然后通過觀察所求的式子發(fā)現(xiàn):分子分母中既有弦還有切,而已知條件只能求出正切,所以把原式里的正弦和余弦化切,即給分子分母都除以cos2α(分母還應(yīng)根據(jù)弦切互化公式化弦),最后代入求值;
(2)要證明AD⊥BM,即要證明
AD
BM
=0,所以就要表示出
AD
BM
,利用三角形法則分別表示出即可.
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)∵tan(α+
π
4
)=-3
,∴tanα=2
sinα(3cosα-sinα)
1+tanα
=
3tanα-tan2α
(1+tanα)(1+tan2α)
=
2
15

(2)在三角形ABC中,利用三角形法則得
AD
-
AB
=
BD
,
AC
-
AD
=
DC

因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">
DC
=2
BD
,代入求得:
AD
=
2
3
AB
+
1
3
AC

因?yàn)镸為AC的中點(diǎn),所以
AM
=
MC
,而
BM
-
BA
=
AM
,
BC
-
BM
=
MC
,則有
BM
=-
AB
+
1
2
AC
,
AD
BM
=
1
6
(4|
AB
|
2
-|
AC
|
2
)=0
,
∴AD⊥BM.
點(diǎn)評(píng):本題考查了兩角和的正切函數(shù)公式,同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系,以及先切互化公式,向量的表示法,讓學(xué)生學(xué)會(huì)了用向量的方法證明兩條線段的垂直,本題是一道多知識(shí)點(diǎn)的綜合題,要求學(xué)生對(duì)每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)都要靈活掌握和應(yīng)用.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)已知tanα=-2,且α是第二象限的角,求sinα和cosα;
(2)已知0<x<
π
4
,sin(
π
4
-x)=
5
13
,求
cos2x
cos(
π
4
+x)
的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)已知tan(α+3π)=3,求
sinα-2cosα
sinα+cosα
的值;
(2)已知α為第二象限角,化簡cosα
1-sinα
1+sinα
+sinα
1-cosα
1+cosα

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)已知tanα=-3,且α是第二象限的角,求sinα和cosα;
(2)已知sinα-cosα=-
5
5
 ,π<α<2π,求 tanα 的值

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)已知tanα=2,求
2sinα-3cosα
sinα+cosα
和sinα•cosα+cos2α的值;
(2)已知cos(a-β)=-
4
5
,cos(a+β)=
4
5
,90°<a-β<180°,270°<a+β<360°,求cos2a的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)已知tanα=3,計(jì)算  
4sinα-2cosα
5cosα+3sinα
的值
(2)當(dāng)sinθ+cosθ=
3
3
時(shí),求tanθ+
1
tanθ
的值.

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