Question

7．命題p：函數(shù)y=x²-4x+1在區(qū)間（-∞，a）上是減函數(shù)
命題q：函數(shù)y=log_（7-2a）x在（0，+∞）上是增函數(shù)．
若p∨q為真命題，p∧q為假命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 對于命題p：函數(shù)y=x²-4x+1=（x-2）²-3在區(qū)間（-∞，a）上是減函數(shù)，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出a的取值范圍．命題q為真命題，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出取值范圍．由p∨q為真命題，p∧q為減命題，可得p，q一真一假．

解答 解：對于命題p：函數(shù)y=x²-4x+1=（x-2）²-3在區(qū)間（-∞，a）上是減函數(shù)，命題p為真命題，則a≤2．
命題q為真命題，函數(shù)y=log_（7-2a）x在（0，+∞）上是增函數(shù)，則7-2a＞1，則a＜3．
∵p∨q為真命題，p∧q為減命題，∴p，q一真一假．
∴$\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{a≥3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a＞2}\\{a＜3}\end{array}\right.$，
解得a∈∅，或2＜a＜3．
由此可知，a的取值范圍為（2，3）．

點評 本題考查了不等式的解法、簡易邏輯的判定方法、函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．