已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b,當(dāng)p,q滿足p+q=1時,證明:pf(x)+qf(y)≥f(px+qy)對于任意實(shí)數(shù)x,y都成立的充要條件是0≤p≤1.
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證明:pf(x)+qf(y)-f(px+qy)
=p(x2+ax+b)+q(y2+ay+b)-(px+qy)2-a(px+qy)-b
=p(1-p)x2+q(1-q)y2-2pqxy
=pq(x-y)2(因?yàn)閜+q=1).
充分性:若0≤p≤1,q=1-p∈[0,1].
所以pq≥0,所以pq(x-y)2≥0,
所以pf(x)+qf(y)≥f(px+qy).
必要性:若pf(x)+qf(y)≥f(px+qy),
則pq(x-y)2≥0,
因?yàn)?x-y)2≥0,所以pq≥0.
即p(1-p)≥0,所以0≤p≤1.
綜上,原命題成立.
練習(xí)冊系列答案
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A.B.C.D.

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