Question

14．已知函數(shù)f（x）=x²-2x-8，g（x）=2x²-5x-18
（1）求不等式g（x）＜0的解集
（2）若對(duì)一切x＞2，均有f（x）≥（m+2）x-m-15成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）直接因式分解后求解不等式的解集；
（2）解法一：把函數(shù)f（x）的解析式代入f（x）≥（m+2）x-m-15，分離變量m后利用基本不等式求解m的取值范圍．
解法二：構(gòu)造函數(shù)h（x）=x²-（m+4）x+m+7，根據(jù)方程根的問題，分類討論即可求出．

解答 解：（1）g（x）=2x²-5x-18＜0
∴（2x-9）（x+2）＜0解得$-2＜x＜\frac{9}{2}$，
∴不等式g（x）＜0的解集為$\{x|-2＜x＜\frac{9}{2}\}$． 
（2）解法一：∵f（x）=x²-2x-8當(dāng)x＞2時(shí)，f（x）≥（m+2）x-m-15恒成立，
∴x²-2x-8≥（m+2）x-m-15，即x²-4x+7≥m（x-1），
∴對(duì)一切x＞2，均有不等式$m≤\frac{{{x^2}-4x+7}}{x-1}$成立．
而$\frac{{{x^2}-4x+7}}{x-1}=（x-1）+\frac{4}{x-1}-2≥2\sqrt{（x-1）×\frac{4}{x-1}}-2=2$（當(dāng)x=3時(shí)等號(hào)成立）．
∵x＞2，
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，2]．               
解法二：∵f（x）=x²-2x-8當(dāng)x＞2時(shí)，f（x）≥（m+2）x-m-15恒成立，
即x²-（m+4）x+m+7≥0對(duì)x＞2恒成立
令h（x）=x²-（m+4）x+m+7，
△=（m+4）²-4（m+7）=m²+4m-12=（m+6）（m-2）
①當(dāng)h（x）圖象與x軸沒有交點(diǎn)或只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，△≤0即-6≤m≤2時(shí)滿足條件
②當(dāng)h（x）圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，則有$\left\{\begin{array}{l}△＞0\\ \frac{m+4}{2}≤2\\ h（2）≥0\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}（m+6）（m-2）＞0\\ \frac{m+4}{2}≤2\\-m+3≥0\end{array}\right.⇒m＜-6$
綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，2]

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一元二次不等式的解法，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了利用基本不等式求函數(shù)的最值，是中檔題