Question

（本小題滿分14分） 已知函數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象上的點(diǎn)都在所表示的平面區(qū)域內(nèi)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（Ⅲ）求證：（其中，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

Answer 1

（Ⅰ）的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．
（Ⅱ）．（Ⅲ）見解析。

本試題主要是考出了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。
（1）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，（），
（），
由解得，由解得．得到單調(diào)區(qū)間。
（2）因函數(shù)圖象上的點(diǎn)都在所表示的平面區(qū)域內(nèi)，則當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，即恒成立，設(shè)（），只需即可，轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用。
（3）據(jù)（Ⅱ）知當(dāng)時(shí)，在上恒成立（或另證在區(qū)間上恒成立）結(jié)合放縮法得到結(jié)論。
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，（），
（），
由解得，由解得．
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．········· 4分
（Ⅱ）因函數(shù)圖象上的點(diǎn)都在所表示的平面區(qū)域內(nèi)，則當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，即恒成立，設(shè)（），只需即可．  5分
由，
（�。┊�(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故成立．   6分
（ⅱ）當(dāng)時(shí)，由，因，所以，
①若，即時(shí)，在區(qū)間上，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上無最大值（或：當(dāng)時(shí)，），此時(shí)不滿足條件；
②若，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，同樣在上無最大值，不滿足條件．·························· 8分
（ⅲ）當(dāng)時(shí)，由，∵，∴，
∴，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，故成立．
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．··················· 10分
（Ⅲ）據(jù)（Ⅱ）知當(dāng)時(shí)，在上恒成立（或另證在區(qū)間上恒成立），    11分
又，
∵



，
∴．··········· 14分