Question

已知函數(shù)f(x)＝x＋sin x.

(1)設(shè)P，Q是函數(shù)f(x)圖像上相異的兩點(diǎn)，證明：直線PQ的斜率大于0；

(2)求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使不等式f(x)≥axcos x在上恒成立．

 

Answer 1

（1）見(jiàn)解析 （2）(－∞，2]

【解析】【解析】
(1)由題意，得f′(x)＝1＋cos x≥0.

所以函數(shù)f(x)＝x＋sin x在R上單調(diào)遞增．

設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1≠x2，

則>0，即kPQ>0.

所以直線PQ的斜率大于0.

(2)當(dāng)a≤0時(shí)，x∈，則f(x)＝x＋sin x≥0≥axcos x恒成立，所以a≤0；

當(dāng)a>0時(shí)，令g(x)＝f(x)－axcos x＝x＋sin x－axcos x，

則g′(x)＝1＋cos x－a(cos x－xsin x)

＝1＋(1－a)cos x＋axsin x.

①當(dāng)1－a≥0，即0<a≤1時(shí)，g′(x)＝1＋(1－a)cos x＋axsin x>0，所以g(x)在上為單調(diào)增函數(shù)．

所以g(x)≥g(0)＝0＋sin 0－a·0·cos 0＝0，符合題意．

所以0<a≤1；

②當(dāng)1－a<0，即a>1時(shí)，

令h(x)＝g′(x)＝1＋(1－a)cos x＋axsin x，

于是h′(x)＝(2a－1)sin x＋axcos x.

因?yàn)閍>1，所以2a－1>0，從而h′(x)≥0.

所以h(x)在上為單調(diào)增函數(shù)．

所以h(0)≤h(x)≤h，

即2－a≤h(x)≤a＋1，

即2－a≤g′(x)≤a＋1.

(ⅰ)當(dāng)2－a≥0，即1<a≤2時(shí)，g′(x)≥0，所以g(x)在上為單調(diào)增函數(shù)．

于是g(x)≥g(0)＝0，符合題意．

所以1<a≤2；

(ⅱ)當(dāng)2－a<0，即a>2時(shí)，存在x0∈，使得當(dāng)x∈(0，x0)時(shí)，有g(shù)′(x)<0，此時(shí)g(x)在(0，x0)上為單調(diào)減函數(shù)，從而g(x)<g(0)＝0，不能使g(x)>0恒成立．

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－∞，2]．