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（12分）在平面直角坐標系xOy中，已知三點A（-1，0），B（1，0），，以A、B為焦點的橢圓經過點C。

   （I）求橢圓的方程；

   （II）設點D（0，1），是否存在不平行于x軸的直線與橢圓交于不同兩點M、N，使

        ？若存在，求出直線斜率的取值范圍；若不存在，請說明理由：

   （III）對于y軸上的點P（0，n），存在不平行于x軸的直線與橢圓交于不同兩點M、N，使，試求實數n的取值范圍。

 

【答案】

（1）（2）不存在（3）

【解析】（I）設橢圓方程為，

據知，

∴所求橢圓方程為                                              …………4分

   （II）

∴若存在符合條件的直線，該直線的斜率一定存在，

否則與點D（0，1）不在x軸上矛盾。

∴可設直線

由得

由  …………6分

設，

MN的中點為

則

又

解得：                                                              …………8分

（將點的坐標代入亦可得到此結果）

由得，

這是不可能的。

故滿足條件的直線不存在。                                                    …………9分[來源:Zxxk.Com]

   （III）據（II）有

可推出要使k存在，只需

的取值范圍是           …………12分

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

在平面直角坐標系xoy中，已知圓心在直線y=x+4上，半徑為2
2
的圓C經過坐標原點O，橢圓
x2
a2
+
y2
9
=1(a＞0)與圓C的一個交點到橢圓兩焦點的距離之和為10．
（1）求圓C的方程；
（2）若F為橢圓的右焦點，點P在圓C上，且滿足PF=4，求點P的坐標．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，在平面直角坐標系xOy中，銳角α和鈍角β的終邊分別與單位圓交于A，B兩點．若點A的橫坐標是
3
5
，點B的縱坐標是
12
13
，則sin（α+β）的值是
16
65
16
65
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

在平面直角坐標系xOy中，若焦點在x軸的橢圓
x2
m
+
y2
3
=1的離心率為
1
2
，則m的值為
4
4
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•泰州三模）選修4-4：坐標系與參數方程
在平面直角坐標系xOy中，已知A（0，1），B（0，-1），C（t，0），D(
3t
，0)，其中t≠0．設直線AC與BD的交點為P，求動點P的軌跡的參數方程（以t為參數）及普通方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•東莞一模）在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦點為F1（-1，0），且橢圓C的離心率e=
1
2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設橢圓C的上下頂點分別為A1，A2，Q是橢圓C上異于A1，A2的任一點，直線QA1，QA2分別交x軸于點S，T，證明：|OS|•|OT|為定值，并求出該定值；
（3）在橢圓C上，是否存在點M（m，n），使得直線l：mx+ny=2與圓O：x2+y2=
16
7
相交于不同的兩點A、B，且△OAB的面積最大？若存在，求出點M的坐標及對應的△OAB的面積；若不存在，請說明理由．

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