Question

已知橢圓的一個焦點為F，若橢圓上存在點P，滿足以橢圓短軸為直徑的圓與線段PF相切于線段PF的中點，則該橢圓的離心率為

 

．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：如圖所示，設(shè)橢圓的左焦點為F′，由于以橢圓短軸為直徑的圓與線段PF相切于線段PF的中點，切點E為PF的中點，可得OP=OF=OF′，F(xiàn)P⊥F′P．設(shè)|PF|=n，|PF′|=m，可得m+n=2a，m²+n²=4c²，b=

m

2

．又c²=a²-b²，可得該橢圓的離心率=

1-( b a )2

．

解答： 解：如圖所示，
設(shè)橢圓的左焦點為F′，
∵以橢圓短軸為直徑的圓與線段PF相切于線段PF的中點，
∴切點E為PF的中點，OP=OF=OF′，
∴FP⊥F′P．
設(shè)|PF|=n，|PF′|=m，
則m+n=2a，m²+n²=4c²，b=

m

2

．
∴n=2a-2b．
∴4b²+（2a-2b）²=4c²，又c²=a²-b²，
化為3b=2a．
∴該橢圓的離心率=

1-( b a )2

=

1- 4 9

=

5

3

．
故答案為：

5

3

．

點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、圓的切線的性質(zhì)、三角形的中位線定理、勾股定理，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．