Question

3．曲線f（x）=xlnx在點P（1，0）處的切線l與坐標軸圍成的三角形的外接圓方程是$（x-\frac{1}{2}）^{2}+（y-\frac{1}{2}）^{2}=\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 求出原函數(shù)的導函數(shù)，求得f′（1），寫出切線方程的點斜式，求得l與坐標軸圍成的三角形，數(shù)形結(jié)合求得三角形的外接圓方程．

解答 解：由f（x）=xlnx，得f′（x）=lnx+1，
∴f′（1）=1，
則曲線f（x）=xlnx在點P（1，0）處的切線方程為y=x-1．如圖，切線l與坐標軸圍成的三角形為AOB，
其外接圓的圓心為$（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$，半徑為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴三角形的外接圓方程是：$（x-\frac{1}{2}）^{2}+（y-\frac{1}{2}）^{2}=\frac{1}{2}$．
故答案為：$（x-\frac{1}{2}）^{2}+（y-\frac{1}{2}）^{2}=\frac{1}{2}$．

點評 本題考查利用導數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，函數(shù)在曲線上某點處的切線的斜率，就是函數(shù)在該點處的導數(shù)值，訓練了三角形外接圓方程的求法，是基礎(chǔ)題．