Question

已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂．過右焦點(diǎn)F₂且與x軸垂直的直線l與雙曲線C相交，其中一個(gè)交點(diǎn)為M(

2

，1)．
（1）求雙曲線C的方程；（2）設(shè)雙曲線C的虛軸一個(gè)端點(diǎn)為B（0，-b），求△F₁BM的面積．

Answer 1

分析：（1）由條件可知c=

2

，|MF₂|=1，|MF₁|=3，根據(jù)雙曲線的定義得2a=|MF₁|-|MF₂|=3-1=2，由此可求出雙曲線方程．
（2）由題意知M(

2

，1)，F1(-

2

，0)，B(0，-1)，直線MF₁的方程是

2

x-4y+2=0，點(diǎn)B到直線MF₁的距離d=

6

18

=

2

，|MF₁|=3，由此能求出△F₁BM的面積．

解答：解：（1）由條件可知c=

2

，|MF₂|=1，
在直角△F₁F₂M中|MF1|=

|MF2|2+|F1F2|2

=

1+(2 2 )2

=3，
根據(jù)雙曲線的定義得2a=|MF₁|-|MF₂|=3-1=2，a=1，從而b=1，
所以雙曲線方程為x²-y²=1．
（2）由題意知M(

2

，1)，F1(-

2

，0)，B(0，-1)，直線MF₁的方程是

2

x-4y+2=0（10分）
點(diǎn)B到直線MF₁的距離d=

6

18

=

2

，
又|MF₁|=3，所以S△F1BM=

1

2

|MF1|d=

3 2

2

．

點(diǎn)評：本題考查圓錐曲線的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要注意公式的靈活運(yùn)用．