Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）兩相鄰對(duì)稱(chēng)軸間的距離為

π

2

，且圖象的一個(gè)最低點(diǎn)為(

2π

3

，-

1

2

)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間與對(duì)稱(chēng)軸；
（3）當(dāng)x∈[-

π

6

，

π

3

]時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）由已知中函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）兩相鄰對(duì)稱(chēng)軸間的距離為

π

2

，我們可以確定函數(shù)的周期，進(jìn)而求出ω值，再根據(jù)圖象的一個(gè)最低點(diǎn)為(

2π

3

，-

1

2

)，可以結(jié)合A＞0，0＜φ＜π求出A值及φ值，進(jìn)而得到f（x）的解析式；
（2）根據(jù)（1）中正弦型函數(shù)的解析式，結(jié)合正弦型函數(shù)的單調(diào)性，我們可以構(gòu)造一個(gè)關(guān)于x的不等式2kπ-

π

2

＜2x+

π

6

＜2kπ+

π

2

，解不等式求出x的范圍，即可得到函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間，根據(jù)正弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，可以得到函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸方程．
（3）根據(jù)（2）結(jié)論，我們易判斷函數(shù)f（x）在x∈[-

π

6

，

π

3

]時(shí)的單調(diào)性，進(jìn)而得到函數(shù)f（x）的值域．

解答：解：（1）由題意知A=

1

2

，T=2×

π

2

=π⇒ω=2
又圖象有一個(gè)最低點(diǎn)(

2π

3

，-

1

2

)，
∴2•

2π

3

+φ=2kπ+

3π

2

⇒φ=2kπ+

π

6

而0＜φ＜π，
∴φ=

π

6

，
故f(x)=

1

2

sin(2x+

π

6

)；
（2）2kπ-

π

2

＜2x+

π

6

＜2kπ+

π

2

⇒kπ-

π

3

＜x＜kπ+

π

6

；
2x+

π

6

=kπ+

π

2

⇒x=

kπ

2

+

π

6

∴f（x）的增區(qū)間是(k-

π

3

，kπ+

π

6

)k∈Z，
對(duì)稱(chēng)軸為x=

kπ

2

+

π

6

k∈Z；
（3）x∈[-

π

6

，

π

3

]⇒2x+

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
∴sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]，
∴f(x)∈[-

1

4

，

1

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是正弦型函數(shù)的解析式的求法，正弦型函數(shù)的值域，正弦型函數(shù)的單調(diào)性，正弦型函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，其中根據(jù)已知條件求出函數(shù)的解析式是解答本題的關(guān)鍵．