Question

若（cosa）²+2msina-2m-2＜0對a∈R恒成立，則實數(shù)m的取值范圍

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：將不等式進行轉化，利用換元法將函數(shù)轉化為一元二次函數(shù)，根據(jù)一元二次函數(shù)的性質建立不等式關系即可得到結論．

解答： 解：不等式等價為1-sin²a+2msina-2m-2＜0對一切a∈R恒成立，
即sin²a-2msina+2m+1＞0恒成立，
設t=sina，則-1≤t≤1，
則不等式等價為t²-2mt+2m+1＞0，在-1≤t≤1上恒成立，
設f（t）=t²-2mt+2m+1，-1≤t≤1，
對稱性t=m，
若m≤-1，則函數(shù)f（t）在[-1，1]上為增函數(shù)，
則滿足f（-1）=1+2m+2m+1=4m+2＞0，
即m＞-

1

2

，此時不成立，
若-1＜m＜1，
則滿足f（m）=m²-2m²+2m+1＞0，
即m²-2m-1＜0，
解得1-

2

＜m＜1+

2

，
此時1-

2

＜m＜1，
若m≥1，則函數(shù)f（t）在[-1，1]上為減函數(shù)，
則滿足f（1）=1-2m+2m+1=2＞0，恒成立，
此時m≥1，
綜上m＞1-

2

，
故答案為：（1-

2

，+∞）

點評：此題考查函數(shù)的恒成立問題，利用換元法結合一元二次不等式和一元二次函數(shù)的性質是解決本題的關鍵．