Question

3．在直二面角α-l-β中，線段AB的端點(diǎn)A，B分別在α，β內(nèi)，且AB與α，β所成的角均為30°，則AB與l所成的角為（　�。�

• A． 30°
• B． 45°
• C． 60°
• D． 90°

Answer 1

分析 直接根據(jù)AC⊥β以及常用的結(jié)論：cosθ=cos∠ABC•cos∠DCB即可求出結(jié)果；

解答 解：如圖所示，作AC⊥l，垂足為C，BD⊥l，垂足為D．
連接BC，AD，∵AB與α，β所成的角均為30°，
∴∠ABC=∠DAB=30°
設(shè)AB=2，則AC=1，BC=1．
作CE∥DB，BE∥CD，連接AE，則直線AB與CD所成的角就是AB與BE所成角，設(shè)為θ，
則AE=$\sqrt{2}$，BC=$\sqrt{3}$，可得BE=$\sqrt{B{C}^{2}-C{E}^{2}}$=$\sqrt{2}$，而作AC⊥l，垂足為C，BD⊥l，垂足為D．可得CD⊥AC，CD⊥CE，可得CD⊥平面ACE，可得BE⊥平面AEC，∴AE⊥BE，
故θ=45°；
故選：B．

點(diǎn)評 本小題主要考查空間直線所成的角以及二面角的度量等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力．