Question

已知函數(shù)t（x）=x³+mx²+x是奇函數(shù)，s（x）=ax²+nx+2是偶函數(shù)，設(shè)f（x）=t（x）+s（x）．
（1）若a=-1，令函數(shù)g（x）=2x-f（x），求函數(shù)g（x）在x∈（-1，2）上的極值；
（2）若對任意x1，x2∈(-

1

3

，+∞)，恒有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）由奇偶性求得m=n=0，再由g（x）的導數(shù)，求出（-1，2）上的單調(diào)區(qū)間，即可得到極值；
（2）方法一、求出導數(shù)，運用二次函數(shù)的對稱軸和區(qū)間的關(guān)系，得到單調(diào)性，解不等式即可得到范圍；
方法二、運用參數(shù)分離，求出右邊的最小值即可．

解答： 解：由函數(shù)t（x）=x³+mx²+x是奇函數(shù)，
s（x）=ax²+nx+2是偶函數(shù)，
故m=0，n=0．
（1）a=-1時，f（x）=（x³+x）+（ax²+2）=x³-x²+x+2，
g（x）=2x-（x³-x²+x+2）=-x³+x²+x-2，
則g'（x）=-3x²+2x+1，
由g'（x）=0得x=-

1

3

或x=1，

x	(-∞，- 1 3 )	- 1 3	(- 1 3 ，1)	1	（1，+∞）
g'（x）	-	0	+	0	-
g（x）	遞減	- 59 27	遞增	-1	遞減

∴函數(shù)g（x）在x=-

1

3

處取得極小值-

59

27

；在x=1處取得極大值-1．
（2）方法一、f'（x）=3x²+2ax+1的對稱軸為x=-

a

3

，對?x1，x2∈(-

1

3

，+∞)恒有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，
所以函數(shù)f（x）在(-

1

3

，+∞)上恒為單調(diào)遞增函數(shù)．
①若-

a

3

≥-

1

3

即a≤1時，要使函數(shù)f（x）在(-

1

3

，+∞)上恒為單調(diào)遞增函數(shù)，
則有△=4a²-12≤0，
解得：-

3

≤a≤

3

，所以-

3

≤a≤1；
②若-

a

3

＜-

1

3

即a＞1時，要使函數(shù)f（x）在(-

1

3

，+∞)上恒為單調(diào)遞增函數(shù)，
則有f(-

1

3

)=3•(-

1

3

)2+2a•(-

1

3

)+1≥0，
解得：1＜a≤2；
綜上，實數(shù)a的取值范圍為-

3

≤a≤2．
方法二（參數(shù)變量分離法）∵f'（x）=3x²+2ax+1≥0在(-

1

3

，+∞)上恒成立∴-2ax≤3x²+1，
（1）當x=0時，a∈R，∴-2ax≤3x²+1．
（2）當x＞0時，-2a≤

3x2+1

x

=3x+

1

x

，因3x+

1

x

≥2

3

，-2a≤2

3

，a≥-

3

（3）當-

1

3

＜x＜0時，-2a≥

3x2+1

x

=3x+

1

x

，
而3x+

1

x

＜3(-

1

3

)+

1

1 3

=-4，-2a≥-4，a≤2．
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為[-

3

，2]．

點評：本題考查函數(shù)的奇偶性的判斷和運用，考查函數(shù)的導數(shù)的運用：求極值，考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和運用，考查分類討論和參數(shù)分離的思想方法，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．