Question

已知圓C：（x-3）²+（y-3）²=9，直線l₁：y=kx與圓C交于P、Q兩個不同的點，M為P、Q的中點．
（Ⅰ）已知A（3，0），若

AP

•

AQ

=0，求實數(shù)k的值；
（Ⅱ）求點M的軌跡方程；
（Ⅲ）若直線l₁與l₂：x+y+1=0的交點為N，求證：|OM|•|ON|為定值．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：平面向量及應(yīng)用,直線與圓

分析：（Ⅰ）首先根據(jù)向量的數(shù)量積得知直線必過圓心，從而確定直線的方程．
（Ⅱ）利用直線和弦心距所在的直線從而確定直線垂直，轉(zhuǎn)化為向量的充要條件，從而求得結(jié)果，同時要注意條件．
（Ⅲ）要求|OM|•|ON|為定值首先確定|OM|=

1+k2

•

3(k+1)

k2+1

，進一步求出|ON|=

1+k2

1+k

，最后求出結(jié)果．

解答： 解：（Ⅰ）

AP

•

AQ

=0  即

AP

⊥

AQ

，
因為點A在圓C上
故直線l₁過圓心C（3，3），
解得：k=1；
（Ⅱ）設(shè)M（x，y），則OM⊥CM，即

OM

•

CM

=0①
所以：

OM

=(x，y)，

CM

=(x-3，y-3)，
坐標代入①解得：
（x，y）•（x-3，y-3）=0，
化簡得：x²-3x+y²-3y=0（x＞0，y＞0）．
（Ⅲ）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），M（x₀，y₀）將y=kx代入（x-3）²+（y-3）²=9并整理得：（k²+1）x²-6（k+1）x+9=0 則x₁，x₂為方程的兩根，利用根和系數(shù)的關(guān)系：
∴x1+x2=

6(k+1)

k2+1

所以：|OM|=

x 2 0 + y 2 0

=

x02+(kx0)2

=

1+k2

•x0
=

1+k2

•

3(k+1)

k2+1

直線l₁與l₂：x+y+1=0的交點為N，解得：N(-

1

k+1

，-

k

k+1

)
所以：|ON|=

(- 1 k+1 )2+(- k k+1 )2

=

1+k2

1+k

所以：|ON|•|OM|=

1+k2

•

3(k+1)

k2+1

•

1+k2

1+k

=3（定值）

點評：本題考查的知識要點：直線的方程的求法，向量的垂直的充要條件，直線的交點的解法，直線與圓的位置關(guān)系，定值問題的確定．