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8.如圖,已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面中,DB=4,∠DAB=∠DCB=90°,∠BDC=∠BDA=60°.
(1)求直線AC與平面BB1C1C所成的角正弦值;
(2)若異面直線BC1與AC所成的角的余弦值為34,求二面角B-A1C1-A的正切值.

分析 (1)根據(jù)直線和平面所成角的定義先作出線面角,根據(jù)三角形的邊角關(guān)系即可求直線AC與平面BB1C1C所成的角正弦值;
(2)根據(jù)異面直線BC1與AC所成的角的余弦值為34,先求出直四棱柱高的值,根據(jù)二面角平面角的定義作出二面角的平面角,根據(jù)三角形的邊角關(guān)系即可求二面角B-A1C1-A的正切值.

解答 解:(1)∵DB=4,∠DAB=∠DCB=90°,∠BDC=∠BDA=60°.
∴CD=AD=2,BC=AB=23,AC=23,
即三角形ABC是正三角形,
則AC⊥BD,
取BC的中點(diǎn)P,則AP⊥BC,AP⊥平面BB1C1C,
則∠ACB是直線AC與平面BB1C1C所成的角,
則∠ACB=60°,
則sin∠ACB=sin60°=32,
即直線AC與平面BB1C1C所成的角正弦值是32;
(2)∵A1C1∥AC,
∴直線BC1與A1C1所成的角即是直線BC1與AC所成的角,
連接A1B,
設(shè)A1A=m,
則A1B=AB2+AA12=12+m2,BC1=BC2+BB12=12+m2,A1C1=AC=23
則cos∠A1C1B=A1C12+BC12A1B22A1C1BC1=12+m2+12m2122×23m2+12=1243m2+12,
∵異面直線BC1與AC所成的角的余弦值為34,
1243m2+12=34,
12+m2=4,則12+m2=16,
則m2=4,m=2,
取A1C1的中點(diǎn)F,連接FO,則FO⊥A1C1,
∵A1B=BC1=12+m2,
∴BF⊥A1C1
即∠BFO是二面角B-A1C1-A的平面角,
則tan∠BFO=OBOF=23×322=32

點(diǎn)評 本題主要考查空間角的計(jì)算,涉及異面直線所成的角,直線和平面所成的角以及二面角的求解,根據(jù)空間角的定義找出對應(yīng)的角,結(jié)合三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵.

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