Question

【題目】已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓 的長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)是拋物線 的焦點(diǎn)，且橢圓 的離心率是 .
（1）求橢圓 的方程；
（2）過(guò)點(diǎn) 的動(dòng)直線與橢圓 相交于 兩點(diǎn).若線段 的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是 ，求直線 的方程.

Answer 1

【答案】
（1）解：由題知橢圓 的焦點(diǎn)在 軸上，且 ，

又 ，故 ，

故橢圓 的方程為 ，即 .

（2）解：依題意，直線 的斜率存在，設(shè)直線 的方程為 ，將其代入 ，

消去 ，整理得 .

設(shè) 兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為 ， .

則

由線段 中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是 ，得 ，

解得 ，符合（*）式.

所以直線 的方程為 或 .

【解析】（1）由已知條件得到關(guān)于a,b,c的方程組求a,b,c得到橢圓方程。
（2）將直線方程代入到橢圓方程中，消去y得關(guān)于x的一元二次方程，由韋達(dá)定理得到兩根之和就是弦中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，從而 求出直線的斜率得到方程。