Question

5．在鈍角△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知a=7，b=3，cosC=$\frac{11}{14}$．
（Ⅰ）求c和角A的大小；
（Ⅱ）求sin（2C-$\frac{π}{6}$）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinC，由余弦定理可求c．由正弦定理可求sinA=$\frac{asinC}{c}$的值，結(jié)合鈍角△ABC，a＞c＞b，即可求得A的值．
（Ⅱ）利用兩角差的正弦函數(shù)公式，二倍角公式化簡，結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值即可計(jì)算求值得解．

解答 （本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）在鈍角△ABC中，因?yàn)閍=7，b=3，cosC=$\frac{11}{14}$，
所以sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{5\sqrt{3}}{14}$，
由余弦定理知：c²=a²+b²-2abcosC=49+9-2×$3×7×\frac{11}{14}$=25，
故c=5．
由正弦定理知：$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$，sinA=$\frac{asinC}{c}$=$\frac{7×\frac{5\sqrt{3}}{14}}{5}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
因?yàn)椤鰽BC為鈍角三角形，a＞c＞b，
所以A為鈍角，
故A=120°．
（Ⅱ）sin（2C-$\frac{π}{6}$）=sin2Ccos$\frac{π}{6}$-cos2Csin$\frac{π}{6}$=2×$\frac{5\sqrt{3}}{14}$×$\frac{11}{14}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$-（2×$\frac{1{1}^{2}}{1{4}^{2}}$-1）×$\frac{1}{2}$=$\frac{71}{98}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，兩角差的正弦函數(shù)公式，二倍角公式，特殊角的三角函數(shù)值，正弦定理，余弦定理等在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．