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5.在鈍角△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知a=7,b=3,cosC=1114
(Ⅰ)求c和角A的大小;
(Ⅱ)求sin(2C-π6)的值.

分析 (Ⅰ)由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinC,由余弦定理可求c.由正弦定理可求sinA=asinCc的值,結(jié)合鈍角△ABC,a>c>b,即可求得A的值.
(Ⅱ)利用兩角差的正弦函數(shù)公式,二倍角公式化簡,結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值即可計(jì)算求值得解.

解答 (本小題滿分13分)
解:(Ⅰ)在鈍角△ABC中,因?yàn)閍=7,b=3,cosC=1114,
所以sinC=1cos2C=5314,
由余弦定理知:c2=a2+b2-2abcosC=49+9-2×3×7×1114=25,
故c=5.
由正弦定理知:asinA=csinC,sinA=asinCc=7×53145=32,
因?yàn)椤鰽BC為鈍角三角形,a>c>b,
所以A為鈍角,
故A=120°.
(Ⅱ)sin(2C-π6)=sin2Ccosπ6-cos2Csinπ6=2×5314×1114×32-(2×112142-1)×12=7198

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式,兩角差的正弦函數(shù)公式,二倍角公式,特殊角的三角函數(shù)值,正弦定理,余弦定理等在解三角形中的應(yīng)用,考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.

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單位:升AB
42
15
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