Question

某市物價(jià)局調(diào)查了治療某種流感的常規(guī)藥品在2012年每個(gè)月的批發(fā)價(jià)格和該藥品在藥店的銷售價(jià)格，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該藥品的批發(fā)價(jià)按月份以12元/盒為中心價(jià)隨某一正弦曲線上下波動(dòng)，且3月份的批發(fā)價(jià)格最高為14元/盒，7月份的批發(fā)價(jià)格最低為10元/盒．該藥品在藥店的銷售價(jià)格按月份以14元/盒為中心價(jià)隨另一正弦曲線上下波動(dòng)，且5月份的銷售價(jià)格最高為16元/盒，9月份的銷售價(jià)格最低為12元/盒．
（1）求該藥品每盒的批發(fā)價(jià)格f（x）和銷售價(jià)格g（x）關(guān)于月份x的函數(shù)解析式；
（2）假設(shè)某藥店每月初都購(gòu)進(jìn)這種藥品p盒，且當(dāng)月售完，求該藥店在2012年哪些月份是盈利的？說(shuō)明你的理由．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：計(jì)算題,應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由題意，設(shè)f（x）=A₁sin（?₁x+φ₁）+12，g（x）=A₂sin（?₂x+φ₂）+14，由題意確定參數(shù)即可；
（2）解不等式g（x）-f（x）=2sin（

π

4

x-

3π

4

）+14-（2sin（

π

4

x-

π

4

）+12）＞0即可．

解答： 解：（1）由題意，設(shè)f（x）=A₁sin（?₁x+φ₁）+12，g（x）=A₂sin（?₂x+φ₂）+14，
其中A₁=

14-10

2

=2，?₁=

2π

2×(7-3)

=

π

4

，
故由f（3）=2sin（

π

4

×3+φ₁）+12=14得，
φ₁=-

π

4

；
故f（x）=2sin（

π

4

x-

π

4

）+12；
同理可得，
g（x）=2sin（

π

4

x-

3π

4

）+14，（1≤x≤12，x∈N）；
（2）g（x）-f（x）=2sin（

π

4

x-

3π

4

）+14-（2sin（

π

4

x-

π

4

）+12）＞0，
即sin

π

4

x＜

2

2

；
又∵1≤x≤12，x∈N，
∴x=4，5，6，7，8，12；
即該藥店在2012年的4，5，6，7，8，12月份是盈利的．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用及三角恒等變換，屬于中檔題．