Question

如圖，已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)過點(1，

2

2

)，離心率為

2

2

，左、右焦點分別為F₁、F₂．點P為直線l：x+y=2上且不在x軸上的任意一點，直線PF₁和PF₂與橢圓的交點分別為A、B和C、D，O為坐標(biāo)原點．設(shè)直線PF₁、PF₂的斜率分別為k₁、k₂．
（Ⅰ）證明：

1

k1

-

3

k2

=2；
（Ⅱ）問直線l上是否存在點P，使得直線OA、OB、OC、OD的斜率k_OA、k_OB、k_OC、k_OD滿足k_OA+k_OB+k_OC+k_OD=0？若存在，求出所有滿足條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）證明：因為橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)過點(1，

2

2

)，離心率為

2

2

，
所以

1 a2 + 1 2b2 =1 a2-b2 a2 = 1 2

，所以a²=2，b²=1，
所以橢圓方程為

x2

2

+y2=1，F(xiàn)₁（-1，0）、F₂（1，0）
設(shè)P（x₀，2-x₀），則

1

k1

=

x0+1

2-x0

，

1

k2

=

x0-1

2-x0

，
所以

1

k1

-

3

k2

=

x0+1

2-x0

-

3x0-3

2-x0

=

-2x0+4

2-x0

=2…（2分）
（Ⅱ）記A、B、C、D坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）、（x₁，y₁）、（x₁，y₁）、（x₁，y₁）．
設(shè)直線PF₁：x=m₁y-1，PF₂：x=m₂y+1
聯(lián)立

x=m1y-1 x2 2 +y2=1

可得(m12+2)y2-2m1y-1=0…（4分）kOA+kOB=

y1

x1

+

y2

x2

=

y1

m1y1-1

+

y2

m1y2-1

=

mly1y2-y1+m1y1y2-y2

(m1y1-1)(m1y2-1)

=

2m1y1y2-(y1+y2)

m12y1y2-m1(y1+y2)+1

，
代入y1y2=

-1

m12+2

，y1+y2=

2m1

m12+2

可得kOA+kOB=

2m1

1-m12

…（6分）
同理，聯(lián)立PF₂和橢圓方程，可得kOC+kOD=

2m2

1-m22

…（7分）
由

2m1

1-m12

+

2m2

1-m22

=0及m₁-3m₂=2（由（Ⅰ）得）可解得

m1= 1 2 m2=- 1 2

，或

m1=3 m2= 1 3

，
所以直線方程為

x= 1 2 y-1 x=- 1 2 y-1

或

x=3y-1 x= 1 3 y+1

，
所以點P的坐標(biāo)為（0，2）或(

5

4

，

3

4

)…（10分）