已知函數(shù)f(x)=x3-x,數(shù)列{an}滿足條件:a1≥1,an+1≥f'(an+1).試比較+++…+與1的大小,并說明理由.
見解析
【解析】+++…+<1.
理由如下:
∵f'(x)=x2-1,an+1≥f'(an+1),
∴an+1≥(an+1)2-1.
令g(x)=(x+1)2-1,則函數(shù)g(x)=x2+2x在區(qū)間[1,+∞)上單調(diào)遞增,于是由a1≥1,得a2≥(a1+1)2-1≥22-1,進而得a3≥(a2+1)2-1≥24-1>23-1,
由此猜想:an≥2n-1.
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個猜想:
①當n=1時,a1≥21-1=1,結(jié)論成立;
②假設(shè)n=k(k≥1且k∈N*)時結(jié)論成立,即ak≥2k-1,則當n=k+1時,由g(x)=(x+1)2-1在區(qū)間[1,+∞)上單調(diào)遞增知,ak+1≥(ak+1)2-1≥22k-1≥2k+1-1,即n=k+1時,結(jié)論也成立.
由①②知,對任意n∈N*,都有an≥2n-1,
即1+an≥2n,∴≤,
∴+++…+≤+++…+==1-()n<1.
【方法技巧】“歸納——猜想——證明”類問題的一般解題思路
通過觀察有限個特例,猜想出一般性的結(jié)論,然后用數(shù)學(xué)歸納法證明.這種方法在解決探索性問題、存在性問題或與正整數(shù)有關(guān)的命題中有著廣泛的應(yīng)用,其關(guān)鍵是歸納、猜想出公式.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014年高考數(shù)學(xué)全程總復(fù)習(xí)課時提升作業(yè)四十五第七章第四節(jié)練習(xí)卷(解析版) 題型:填空題
設(shè)互不相同的直線l,m,n和平面α,β,γ,給出下列三個命題:
①若l與m為異面直線,l?α,m?β,則α∥β;
②若α∥β,l?α,m?β,則l∥m;
③若α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,l∥γ,則m∥n.
其中真命題的個數(shù)為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014年高考數(shù)學(xué)全程總復(fù)習(xí)課時提升作業(yè)四十三第七章第二節(jié)練習(xí)卷(解析版) 題型:填空題
已知某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014年高考數(shù)學(xué)全程總復(fù)習(xí)課時提升作業(yè)四十七第七章第六節(jié)練習(xí)卷(解析版) 題型:填空題
在空間直角坐標系中,以點A(4,1,9),B(10,-1,6),C(x,4,3)為頂點的△ABC是以BC為斜邊的等腰直角三角形,則實數(shù)x的值為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014年高考數(shù)學(xué)全程總復(fù)習(xí)課時提升作業(yè)四十七第七章第六節(jié)練習(xí)卷(解析版) 題型:選擇題
已知正方體ABCD-A1B1C1D1中,點E為上底面A1C1的中心,若=+x+y,則x,y的值分別為( )
(A)x=1,y=1 (B)x=1,y=
(C)x=,y= (D)x=,y=1
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014年高考數(shù)學(xué)全程總復(fù)習(xí)課時提升作業(yè)四十一第六章第七節(jié)練習(xí)卷(解析版) 題型:填空題
若數(shù)列{an}的通項公式an=,記cn=2(1-a1)·(1-a2)…(1-an),試通過計算c1,c2,c3的值,推測cn= .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014年高考數(shù)學(xué)全程總復(fù)習(xí)課時提升作業(yè)四十一第六章第七節(jié)練習(xí)卷(解析版) 題型:選擇題
用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1+++…+>(n∈N*)成立,其初始值至少應(yīng)取( )
(A)7 (B)8 (C)9 (D)10
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014年高考數(shù)學(xué)全程總復(fù)習(xí)課時提升作業(yè)四十 第六章第六節(jié)練習(xí)卷(解析版) 題型:選擇題
在證明命題“對于任意角θ,cos4θ-sin4θ=cos2θ”的過程:“cos4θ-sin4θ=(cos2θ+sin2θ)·(cos2θ-sin2θ)=cos2θ-sin2θ=cos2θ”中應(yīng)用了( )
(A)分析法
(B)綜合法
(C)分析法和綜合法綜合使用
(D)間接證法
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014年高考數(shù)學(xué)全程總復(fù)習(xí)課時提升作業(yè)十六第二章第十三節(jié)練習(xí)卷(解析版) 題型:選擇題
(ex+2x)dx等于( )
(A)1 (B)e-1 (C)e (D)e+1
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