Question

設f（-x）=2^-x+a•2^x（a是常數(shù)）．
（1）求f（x）的表達式；
（2）如果f（x）是偶函數(shù)，求a的值；
（3）當f（x）是偶函數(shù)時，討論函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)性，并加以證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）令t=-x，則x=-t，代入解析式換元即可求出外層函數(shù)的解析式；
（2）f （x）是偶函數(shù)，則可得到方程f （-x）=f （x）由此解方程即可求a，求解時要注意恒成立怎么轉(zhuǎn)化．
（3）由（2）得到的解析式進行討論，設0＜x₁＜x₂，研究f（x₂）-f（x₁）差的符號，進而判斷出其單調(diào)性，做本題時要注意做題的格式，先判斷再證明．
解答：解：（1）令t=-x，則x=-t，于是
∴
（2）∵f （x）是偶函數(shù)，∴對任意x∈R恒成立
即對任意x∈R恒成立，
∴a-1=0，即a=1
（3）由（2）知a=1，，設0＜x₁＜x₂，則
∵x₁＜x₂，且y=2^x是增函數(shù)，∴，即
∵0＜x₁＜x₂，x₁+x₂＞0，∴
故
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁）
∴當x∈（0，+∞）時，f （x）是增函數(shù)．
點評：本題考查換元法求外層函數(shù)的解析式以及通過函數(shù)的奇偶性建立方程求參數(shù)，用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性，本題涉及面廣，知識點多，綜合性較強．