Question

已知直線y=-x+1與橢圓=1（a＞b＞0）相交于A、B兩點．
（1）若橢圓的離心率為，焦距為2，求橢圓的標準方程；
（2）若OA⊥OB（其中O為坐標原點），當橢圓的離率e∈時，求橢圓的長軸長的最大值．

Answer 1

解（1）∵e=．又2c=2，解得a=，
則b=．
（2）
由
消去y得（a²+b²）•x²-2a²x+a²•（1-b²）=0，
由△=（-2a²）²-4a²（a²+b²）（1-b²）＞0，整理得a²+b²＞1．
設A（x₁，y₁，），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=．
∴y₁y₂=（-x₁+1）（-x₂+1）=x₁x₂-（x₁+x₂）+1．
∵OA⊥OB（其中O為坐標原點），
∴x₁x₂+y₁y₂=0，即2x₁x₂-（x₁+x₂）+1=0．
∴+1=0．整理得a²+b²-2a²b²=0．
∵b²=a²-c²=a²-a²e²，代入上式得
2a²=1+，
∴a²=．
∵e∈∴，
∴，
∴≤2，∴≤3，
∴，適合條件a²+b²＞1，
由此得．
∴，
故長軸長的最大值為
分析：（1）利用橢圓的離心率公式求出橢圓中的參數(shù)a，利用橢圓中三個參數(shù)的關(guān)系求出b，代入橢圓的方程求出橢圓的標準方程．
（2）將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，利用韋達定理求出兩個交點的橫、縱坐標之積；利用向量垂直的充要條件將
OA⊥OB用交點的坐標表示，得到橢圓的三個參數(shù)的一個等式，再利用橢圓的三個參數(shù)本身的關(guān)系得到參數(shù)a與離心率的關(guān)系，利用離心率的范圍求出a的范圍，得到橢圓的長軸長的最大值．
點評：求圓錐曲線的方程，一般利用待定系數(shù)法；解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題，一般設出直線方程，將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去一個未知數(shù)，得到關(guān)于一個未知數(shù)的二次方程，利用韋達定理，找突破口．注意設直線方程時，一定要討論直線的斜率是否存在．