Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=

1

4

，a_n+1=S_n+

t

16

（n∈N^*，t為常數(shù)）．
（Ⅰ）若數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，求t的值；
（Ⅱ）若t＞-4，b_n=lga_n+1，數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)和為T_n，當(dāng)且僅當(dāng)n=6時(shí)T_n取最小值，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

（I）∵an+1=Sn+

t

16

…(1)；an=Sn-1+

t

16

…(2)
（1）-（2）得：a_n+1=2a_n（n≥2）…（2分）
∵數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，∴

a2

a1

=2…..（4分）
∵a2=S1+

t

16

=

4+t

16

，a₁=

1

4

，
∴

4+t

4

=2，∴t=4…（6分）
（II）a2=

4+t

16

，a_n+1=2a_n（n＞1），∴an+1=

4+t

16

•2n-1(n∈N*)…．（8分）
∵a₂，a₃，a₄…a_n+1成等比數(shù)列，b_n=lga_n+1，
∴數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列
∵數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)和為T_n，當(dāng)且僅當(dāng)n=6時(shí)，T_n取最小值，∴b₆＜0且b₇＞0…（10分）
可得0＜a₇＜1且a₈＞1，…（12分）
∴0＜16+4t＜1且32+2t＞1，
∴-

15

4

＜t＜-

7

2

…（14分）