Question

8．已知向量$\overrightarrow{m}$=（sinωx，sin（ωx+$\frac{π}{6}$）），$\overrightarrow{n}$=（cosωx，sinωx），其中ω＞0，f（x）=$\overrightarrow{m}$$•\overrightarrow{n}$．
（1）求函數(shù)f（x）的值域；
（2）若f（$\frac{π}{6}$）=f（$\frac{π}{2}$），且f（x）的圖象在（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$）內(nèi)有最高點(diǎn)但無最低點(diǎn)，求ω的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量的數(shù)量積公式得出f（x）的解析式，利用三角函數(shù)的恒等變換化簡f（x），根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)得出f（x）的最值；
（2）根據(jù)三角函數(shù)的對(duì)稱性可知f（$\frac{π}{3}$）=f_max（x），且T≥$\frac{π}{2}-\frac{π}{6}=\frac{π}{3}$，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)和周期公式解出ω．

解答 解：（1）f（x）=sinωxcosωx+sin（ωx+$\frac{π}{6}$）sinωx=$\frac{3}{2}$sinωxcosωx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin²ωx
=$\frac{3}{4}$sin2ωx-$\frac{\sqrt{3}}{4}$cos2ωx+$\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）+$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
∴當(dāng)sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）=-1時(shí)，f（x）取得最小值-$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
當(dāng)sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）=1時(shí)，f（x）取得最大值$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．
∴f（x）的值域?yàn)閇-$\frac{\sqrt{3}}{4}$，$\frac{3\sqrt{3}}{4}$]．
（2）∵若f（$\frac{π}{6}$）=f（$\frac{π}{2}$），且f（x）的圖象在（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$）內(nèi)有最高點(diǎn)，
∴x=$\frac{π}{3}$是f（x）的一條對(duì)稱軸，且f（$\frac{π}{3}$）=f_max（x）=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．
∴2ω×$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}+2kπ$，解得ω=1+3k，k∈Z．
∴f（x）的圖象在（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$）內(nèi)無最低點(diǎn)，
∴T≥$\frac{π}{2}-\frac{π}{6}$=$\frac{π}{3}$，即$\frac{2π}{2ω}$≥$\frac{π}{3}$，∴ω≤3．
又∵ω＞0，
∴當(dāng)k=0時(shí)，ω=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題．