Question

6．等差數列{a_n}中，S_n為其前n項和，已知a₂=2，S₅=15，數列{b_n}，b₁=1，對任意n∈N₊滿足b_n+1=2b_n+1．
（Ⅰ）數列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）設c_n=$\frac{a_n}{{{b_n}+1}}$，求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用等差數列的通項公式與求和公式可得a_n．b_n+1=2b_n+1，變形為b_n+1+1=2（b_n+1），利用等比數列的通項公式即可得出．
（II）c_n=$\frac{a_n}{{{b_n}+1}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，利用“錯位相減法”與等比數列的求和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）設等差數列{a_n}的公差為d，
由a₂=2，S₅=15，∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=2}\\{5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}d=15}\end{array}\right.$，解得a₁=d=1，
∴a_n=n．
∵b_n+1=2b_n+1，
∴b_n+1+1=2（b_n+1），${b_n}+1=2•{2^{n-1}}$，∴${b_n}={2^n}-1$．
（II）c_n=$\frac{a_n}{{{b_n}+1}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴${T_n}=\frac{1}{2^1}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+…+\frac{n}{2^n}$，
$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{1}{2^2}+\frac{2}{2^3}+\frac{3}{2^4}+…+\frac{n}{{{2^{n+1}}}}$，
兩式相減得，${T_n}=2-\frac{1}{{{2^{n-1}}}}-\frac{n}{2^n}$．

點評 本題考查了“錯位相減法”、等差數列與等比數列的通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．