Question

設(shè)函數(shù)f（x）=lnx+

a(x+2)

x

，a∈R．
（1）當a=1時，求f（x）的最小值；
（2）討論函數(shù)g（x）=f′（x）-

x

6

零點的個數(shù)．

Answer 1

考點：函數(shù)零點的判定定理,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）當a=1時，f（x）=lnx+

x+2

x

，f′（x）=

x-2

x2

，分析函數(shù)的單調(diào)性后，可得當x=2時，f（x）的最小值為ln2+2；
（2）求出函數(shù)g（x）=f′（x）-

x

6

的解析式，進而利用導(dǎo)數(shù)法，求出其最大值，分類討論可得函數(shù)g（x）=f′（x）-

x

6

零點的個數(shù)．

解答： 解：（1）當a=1時，f（x）=lnx+

x+2

x

，
則f′（x）=

1

x

-

2

x2

=

x-2

x2

，
當x∈（0，2）時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）為減函數(shù)；
當x∈（2，+∞）時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）為增函數(shù)；
∴當x=2時，f（x）的最小值為ln2+2；
（2）∵f（x）=lnx+

a(x+2)

x

，
∴f′（x）=

1

x

-

2a

x2

=

x-2a

x2

，
∴g（x）=f′（x）-

x

6

=

-x3+6x-12a

6x2

，
令h（x）=-x³+6x-12a，
則h′（x）=-3x²+6，
當x∈（0，

2

）時，h′（x）＞0，函數(shù)h（x）為增函數(shù)；
當x∈（

2

，+∞）時，h′（x）＜0，函數(shù)f（x）為減函數(shù)；
故當x=

2

時，h（x）=-x³+6x-12a取最大值4

2

-12a，
若4

2

-12a＜0，即a＞

2

3

，則函數(shù)g（x）=f′（x）-

x

6

無零點；
若4

2

-12a=0，即a=

2

3

，則函數(shù)g（x）=f′（x）-

x

6

有一個零點；
若4

2

-12a＞0，即a＜

2

3

，則函數(shù)g（x）=f′（x）-

x

6

有兩個零點；

點評：本題考查的知識點是函數(shù)零點的判定，導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值，難度中檔．