Question

6．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n+a_n=2-$\frac{2}{{2}^{n}}$．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項a_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將n=1，2，3，4依次代入S_n+a_n=2-$\frac{2}{{2}^{n}}$，從而求得；
（Ⅱ）猜想a_n=$\frac{n}{{2}^{n}}$，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．

解答 解：（Ⅰ）∵S_n+a_n=2-$\frac{2}{{2}^{n}}$．
∴當(dāng)n=1時，S₁+a₁=2-1，
解得，a₁=$\frac{1}{2}$，
同理可求得，a₂=$\frac{1}{2}$，a₃=$\frac{3}{8}$，a₄=$\frac{1}{4}$；
（Ⅱ）猜想a_n=$\frac{n}{{2}^{n}}$，證明如下，
①當(dāng)n=1時，顯然成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k時成立，即a_k=$\frac{k}{{2}^{k}}$，
S_k+a_k=2-$\frac{2}{{2}^{k}}$，
故S_k=2-$\frac{2}{{2}^{k}}$-a_k=2-$\frac{2}{{2}^{k}}$-$\frac{k}{{2}^{k}}$=2-$\frac{2+k}{{2}^{k}}$，
∵S_k+1+a_k+1=2-$\frac{2}{{2}^{k+1}}$，
∴S_k+2a_k+1=2-$\frac{2}{{2}^{k+1}}$，
∴2a_k+1=2-$\frac{2}{{2}^{k+1}}$-（2-$\frac{2+k}{{2}^{k}}$）=$\frac{2（k+1）}{{2}^{k+1}}$，
∴a_k+1=$\frac{k+1}{{2}^{k+1}}$，即n=k+1時，猜想也成立；
綜上所述，a_n=$\frac{n}{{2}^{n}}$．

點評 本題考查了數(shù)列的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，同時考查了分類討論的思想與數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用．