精英家教網(wǎng)如圖,四邊形PDCE為矩形,四邊形ABCD為梯形,平面PDCE⊥平面ABCD,∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=
1
2
CD=a,PD=
2
a.
(1)若M為PA中點,求證:AC∥平面MDE;
(2)求平面PAD與PBC所成銳二面角的大。
分析:(1)連接PC,交DE與N,連接MN,所以MN∥AC,再根據(jù)線面平行的判定定理可得答案.
(2)以D為空間坐標系的原點,分別以 DA,DC,DP所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系,分別求出兩個平面的法向量,再求出兩個向量的夾角,進而轉(zhuǎn)化為二面角的平面角.
解答:解:精英家教網(wǎng)(1)證明:連接PC,交DE與N,連接MN,
在△PAC中,∵M,N分別為兩腰PA,PC的中點
∴MN∥AC,…(2分)
又AC?面MDE,MN?面MDE,
所以 AC∥平面MDE.…(4分)
(2)以D為空間坐標系的原點,分別以 DA,DC,DP所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系,
則P(0,0,
2
a),B(a,a,0),C(0,2a,0),
所以
PB
=(a,a,-
2
a)
BC
=(-a,a,0)
,…(6分)
設平面PAD的單位法向量為
n1
,則可取
n1
=(0,1,0)
        …(7分)
設面PBC的法向量
n2
=(x,y,z)
,
則有
n2
PB
=(x,y,z)•(a,a,-
2
a)=0
n2
BC
=(x,y,z)•(-a,a,0)=0

即:
x+y-
2
z=0
-x+y=0
,取z=1,
x=
2
2
,y=
2
2
n2
=(
2
2
,
2
2
,1)
…(10分)
設平面PAD與平面PBC所成銳二面角的大小為θ,
cosθ=
|
n1
n2
|
|
n1
|•|
n2
|
=
2
2
1•
2
=
1
2
…(11分)
∴θ=60°,
所以平面PAD與平面PBC所成銳二面角的大小為60°…(12分)
點評:本題考查的知識點是二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定,求二面角的平面角的關鍵是找到角,再求出角,解決此類問題也可以建立坐標系,利用空間向量求出空間角與空間距離.
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1
2
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2
a.
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1
2
CD=a,PD=
2
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(2)求平面PAD與PBC所成銳二面角的大。

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