Question

（2012年高考（上海理））對于數(shù)集,其中,,定義向量集

. 若對于任意,存在,使得,則稱X

具有性質(zhì)P. 例如具有性質(zhì)P.

(1)若x>2,且,求x的值;

(2)若X具有性質(zhì)P,求證:1?X,且當(dāng)xn>1時,x1=1;

(3)若X具有性質(zhì)P,且x1=1,x2=q(q為常數(shù)),求有窮數(shù)列的通項公式.

Answer 1

 (1)選取,Y中與垂直的元素必有形式  

所以x=2b,從而x=4  

(2)證明:取.設(shè)滿足.

由得,所以、異號.

因為-1是X中唯一的負(fù)數(shù),所以、中之一為-1,另一為1,

故1ÎX  

假設(shè),其中,則.

選取,并設(shè)滿足,即,

則、異號,從而、之中恰有一個為-1.

若=-1,則,矛盾;

若=-1,則,矛盾.

所以x1=1  

(3)【解法一】猜測,i=1, 2, , n  

記,k=2, 3, , n.

先證明:若具有性質(zhì)P,則也具有性質(zhì)P.

任取,、Î.當(dāng)、中出現(xiàn)-1時,顯然有滿足;

當(dāng)且時,、≥1.

因為具有性質(zhì)P,所以有,、Î,使得,

從而和中有一個是-1,不妨設(shè)=-1.

假設(shè)Î且Ï,則.由,得,與

Î矛盾.所以Î.從而也具有性質(zhì)P  

現(xiàn)用數(shù)學(xué)歸納法證明:,i=1, 2, , n.

當(dāng)n=2時,結(jié)論顯然成立;

假設(shè)n=k時,有性質(zhì)P,則,i=1, 2, , k;

當(dāng)n=k+1時,若有性質(zhì)P,則

也有性質(zhì)P,所以.

取,并設(shè)滿足,即.由此可得s與t中有且只有一個為-1.

若,則,所以,這不可能;

所以,,又,所以.

綜上所述,,i=1, 2, , n  

【解法二】設(shè),,則等價于.

記,則數(shù)集X具有性質(zhì)P當(dāng)且僅當(dāng)數(shù)集B關(guān)于

原點對稱  

注意到-1是X中的唯一負(fù)數(shù),共有n-1個數(shù),

所以也只有n-1個數(shù).

由于,已有n-1個數(shù),對以下三角數(shù)陣

 

 

 

注意到,所以,從而數(shù)列的通項公式為

,k=1, 2, , n