Question

12．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，其前n項和為S_n，且滿足a_n=$\frac{{2S}_{n}^{2}}{2{S}_{n}-1}$（n≥2），則數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n=$\frac{1}{2n-1}$．

Answer 1

分析 a_n=$\frac{{2S}_{n}^{2}}{2{S}_{n}-1}$（n≥2），可得：（S_n-S_n-1）（2S_n-1）=2${S}_{n}^{2}$，化為$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，再利用等差數(shù)列的通項公式即可得出．

解答 解：∵a_n=$\frac{{2S}_{n}^{2}}{2{S}_{n}-1}$（n≥2），
∴（S_n-S_n-1）（2S_n-1）=2${S}_{n}^{2}$，
化為：-S_n-2S_nS_n-1+S_n-1=0，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，
∴數(shù)列$\{\frac{1}{{S}_{n}}\}$是等差數(shù)列，公差為2，首項為1．
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=1+2（n-1）=2n-1．
∴S_n=$\frac{1}{2n-1}$（n=1時也成立）．
故答案為：$\frac{1}{2n-1}$．

點評 本題考查了遞推關系、等差數(shù)列遞通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．